- Propriedade reversa
- A integral indefinida
- Outros significados da constante de integração
- Como é calculada a constante de integração?
- Exemplos
- Exemplo 1
- Exemplo 2
- Exemplo 3
- Exercícios propostos
- Exercício 1
- Exercício 2
- Exercício 3
- Exercício 4
- Referências
A constante de integração é um valor adicionado ao cálculo de antiderivadas ou integrais, serve para representar as soluções que compõem a primitiva de uma função. Ele expressa uma ambigüidade inerente onde qualquer função tem um número infinito de primitivas.
Por exemplo, se tomarmos a função: f (x) = 2x + 1 e obtermos sua antiderivada:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C; Onde C é a constante de integração e representa graficamente a translação vertical entre as infinitas possibilidades do primitivo. É correto dizer que (x 2 + x) é uma das primitivas de f (x).
Fonte: autor
Da mesma forma, podemos definir (x 2 + x + C) como a primitiva de f (x).
Propriedade reversa
Pode-se notar que ao derivar a expressão (x 2 + x) obtém-se a função f (x) = 2x + 1, devido à propriedade inversa existente entre a derivação e integração das funções. Esta propriedade permite obter fórmulas de integração a partir da diferenciação. O que permite a verificação de integrais pelas mesmas derivadas.
Fonte: autor
No entanto (x 2 + x) não é a única função cuja derivada é igual a (2x + 1).
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C) / dx = 2x + 1
Onde 1, 2, 3 e 4 representam primitivas particulares de f (x) = 2x + 1. Enquanto 5 representa a integral indefinida ou primitiva de f (x) = 2x + 1.
Fonte: autor
As primitivas de uma função são alcançadas por meio da antiderivação ou processo integral. Onde F será uma primitiva de f se o seguinte for verdadeiro
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = constante de integração
- F '(x) = f (x)
Pode-se observar que uma função possui uma única derivada, ao contrário de suas infinitas primitivas resultantes da integração.
A integral indefinida
∫ f (x) dx = F (x) + C
Corresponde a uma família de curvas com o mesmo padrão, que experimentam incongruência no valor das imagens de cada ponto (x, y). Cada função que cumpre esse padrão será uma primitiva individual e o conjunto de todas as funções é conhecido como integral indefinida.
O valor da constante de integração será aquele que diferencia cada função na prática.
A constante de integração sugere um deslocamento vertical em todos os gráficos que representam as primitivas de uma função. Onde o paralelismo entre eles é observado, e o fato de que C é o valor do deslocamento.
De acordo com as práticas comuns, a constante de integração é denotada pela letra "C" após um adendo, embora na prática não importe se a constante é adicionada ou subtraída. Seu valor real pode ser encontrado de várias maneiras em diferentes condições iniciais.
Outros significados da constante de integração
Já foi discutido como a constante de integração é aplicada no ramo do cálculo integral; Representando uma família de curvas que definem a integral indefinida. Mas muitas outras ciências e ramos têm atribuído valores muito interessantes e práticos da constante de integração, o que tem facilitado o desenvolvimento de múltiplos estudos.
Em física, a constante de integração pode assumir vários valores, dependendo da natureza dos dados. Um exemplo muito comum é conhecer a função V (t) que representa a velocidade de uma partícula em função do tempo t. Sabe-se que ao calcular uma primitiva de V (t) obtém-se a função R (t) que representa a posição da partícula em função do tempo.
A constante de integração representará o valor da posição inicial, ou seja, no tempo t = 0.
Da mesma forma, se a função A (t) que representa a aceleração da partícula em função do tempo for conhecida. A primitiva de A (t) resultará na função V (t), onde a constante de integração será o valor da velocidade inicial V 0.
Em economia, obtendo por integração a primitiva de uma função de custo. A constante de integração representará os custos fixos. E tantas outras aplicações que merecem cálculo diferencial e integral.
Como é calculada a constante de integração?
Para calcular a constante de integração, será sempre necessário conhecer as condições iniciais. Que se encarregam de definir qual das primitivas possíveis é a correspondente.
Em muitas aplicações, ela é tratada como uma variável independente no tempo (t), onde a constante C assume os valores que definem as condições iniciais do caso particular.
Se tomarmos o exemplo inicial: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Uma condição inicial válida pode ser a condição de que o gráfico passe por uma coordenada específica. Por exemplo, sabemos que o primitivo (x 2 + x + C) passa pelo ponto (1, 2)
F (x) = x 2 + x + C; esta é a solução geral
F (1) = 2
Substituímos a solução geral nesta igualdade
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
De onde se segue facilmente que C = 0
Desta forma, a primitiva correspondente para este caso é F (x) = x 2 + x
Existem vários tipos de exercícios numéricos que trabalham com constantes de integração. Na verdade, o cálculo diferencial e integral não para de ser aplicado nas investigações atuais. Em diferentes níveis acadêmicos, eles podem ser encontrados; desde o cálculo inicial, passando pela física, química, biologia, economia, entre outros.
É também apreciado no estudo de equações diferenciais, onde a constante de integração pode assumir diferentes valores e soluções, isto devido às múltiplas derivações e integrações que são realizadas nesta matéria.
Exemplos
Exemplo 1
- Um canhão localizado a 30 metros de altura dispara um projétil verticalmente para cima. A velocidade inicial do projétil é conhecida como 25 m / s. Decidir:
- Função que define a posição do projétil em relação ao tempo.
- O tempo de vôo ou instante de tempo em que a partícula atinge o solo.
Sabe-se que em um movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é um valor constante. É o caso do lançamento de projéteis, onde a aceleração será da gravidade
g = - 10 m / s 2
Sabe-se também que a aceleração é a segunda derivada da posição, o que indica uma dupla integração na resolução do exercício, obtendo-se duas constantes de integração.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
As condições iniciais do exercício indicam que a velocidade inicial é V 0 = 25 m / s. Esta é a velocidade no instante do tempo t = 0. Desta forma, fica satisfeito que:
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 e C 1 = 25
Com a função de velocidade definida
V (t) = -10t + 25; A semelhança pode ser observada com a fórmula MRUV (V f = V 0 + axt)
De forma homóloga, passamos a integrar a função velocidade para obter a expressão que define a posição:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (posição primitiva)
A posição inicial R (0) = 30 m é conhecida. Em seguida, o primitivo particular do projétil é calculado.
R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2. Onde C 2 = 30
Exemplo 2
- Encontre o f (x) primitivo que satisfaz as condições iniciais:
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
Com a informação da segunda derivada f '' (x) = 4 o processo de antiderivação começa
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Então, conhecendo a condição f '(2) = 2, procedemos:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 e f '(x) = 4x - 8
Procedemos da mesma forma para a segunda constante de integração
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
A condição inicial f (0) = 7 é conhecida e procedemos:
2 (0) 2 - 8 (0) C + 2 = 7
C 2 = 7 e f (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2; f '(0) = 6; f (0) = 3
De maneira semelhante ao problema anterior, definimos as primeiras derivadas e a função original a partir das condições iniciais.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (x 2) dx = (x 3 /3) + C 1
Com a condição f '(0) = 6 procedemos:
(0 3/3) + C 1 = 6; Quando C 1 = 6 e F '(x) = (x 3 /3) + 6
Então, a segunda constante de integração
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + 6x + C 2
A condição inicial f (0) = 3 é conhecida e procedemos:
+ 6 (0) + C 2 = 3; Quando C 2 = 3
Assim, obtemos o particular primitivo
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
Exemplo 3
- Defina as funções primitivas dadas as derivadas e um ponto no gráfico:
- dy / dx = 2x - 2 que passa pelo ponto (3, 2)
É importante lembrar que as derivadas se referem à inclinação da reta tangente à curva em um determinado ponto. Onde não é correto assumir que o gráfico da derivada toca o ponto indicado, pois este pertence ao gráfico da função primitiva.
Desta forma, expressamos a equação diferencial da seguinte forma:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
Aplicando a condição inicial:
2 = (3) 2 - 2 (3) + C
C = -1
É obtido: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1 que passa pelo ponto (0, 2)
Expressamos a equação diferencial da seguinte forma:
Aplicando a condição inicial:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
Obtemos: f (x) = x 3 - x + 2
Exercícios propostos
Exercício 1
- Encontre o f (x) primitivo que satisfaz as condições iniciais:
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
Exercício 2
- Um balão subindo a uma velocidade de 16 pés / s deixa cair um saco de areia de uma altura de 64 pés acima do nível do solo.
- Defina o tempo de voo
- Qual será o vetor V f quando atingir o solo?
Exercício 3
- A figura mostra o gráfico do tempo de aceleração de um carro se movendo na direção positiva do eixo x. O carro estava viajando a uma velocidade constante de 54 km / h quando o motorista pisou no freio para parar em 10 segundos. Determinar:
- A aceleração inicial do carro
- A velocidade do carro em t = 5s
- O deslocamento do carro durante a frenagem
Fonte: autor
Exercício 4
- Defina as funções primitivas dadas as derivadas e um ponto no gráfico:
- dy / dx = x que passa pelo ponto (-1, 4)
- dy / dx = -x 2 + 1 que passa pelo ponto (0, 0)
- dy / dx = -x + 1 que passa pelo ponto (-2, 2)
Referências
- Cálculo integral. Os métodos de integração e integral indefinida. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
- Stewart, J. (2001). Cálculo de uma variável. Transcendentais iniciais. México: Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). Matemática VI. Cálculo integral. México: Pearson Education.
- Física I. Mc Graw hill