O inverso multiplicativo de um número é entendido como outro número que multiplicado pelo primeiro dá o elemento neutro do produto, ou seja, a unidade. Se temos um número real a, então seu inverso multiplicativo é denotado por -1, e é verdade que:
aa -1 = a -1 a = 1
Em geral, o número a pertence ao conjunto de números reais.
Figura 1. Y é o inverso multiplicativo de X e X é o inverso multiplicativo de Y.
Se, por exemplo, tomarmos a = 2, então seu inverso multiplicativo é 2 -1 = ½, pois o seguinte é válido:
2 ⋅ 2 -1 = 2 -1 ⋅ 2 = 1
2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1
O inverso multiplicativo de um número também é chamado de recíproco, porque o inverso multiplicativo é obtido trocando numerador e denominador, por exemplo, o inverso multiplicativo de 3/4 é 4/3.
Como regra geral, pode-se dizer que para um número racional (p / q) seu inverso multiplicativo (p / q) -1 é recíproco (q / p) como pode ser verificado a seguir:
(p / q) ⋅ (p / q) -1 = (p / q) ⋅ (q / p) = (p⋅ q) / (q⋅ p) = (p⋅ q) / (p⋅ q) = 1
Lembre-se de que o inverso multiplicativo também é chamado de recíproco porque é obtido precisamente pela troca de numerador e denominador.
Então, o inverso multiplicativo de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2) será:
(a ^ 2 - b ^ 2) / (a - b)
Mas essa expressão pode ser simplificada se reconhecermos, de acordo com as regras da álgebra, que o numerador é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como o produto de uma soma por uma diferença:
((a + b) (a - b)) / (a - b)
Como existe um fator comum (a - b) no numerador e no denominador, passamos a simplificar, obtendo finalmente:
(a + b) que é o inverso multiplicativo de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).
Referências
- Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemática para gestão e economia. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limite.
- Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
- Rock, NM (2006). Álgebra I é fácil! Tão fácil. Equipe Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.