Existe uma matriz ortogonal quando a referida matriz multiplicada pela sua transposição resulta na matriz identidade. Se o inverso de uma matriz é igual à transposta, então a matriz original é ortogonal.
Matrizes ortogonais possuem a característica de que o número de linhas é igual ao número de colunas. Além disso, os vetores de linha são vetores ortogonais unitários e os vetores de linha de transposição também são.
Figura 1. Exemplo de matriz ortogonal e como ela transforma objetos geométricos. (Elaborado por Ricardo Pérez)
Quando uma matriz ortogonal é multiplicada pelos vetores de um espaço vetorial, ela produz uma transformação isométrica, ou seja, uma transformação que não altera as distâncias e preserva os ângulos.
Um representante típico de matrizes ortogonais são matrizes de rotação. As transformações de matrizes ortogonais em um espaço vetorial são chamadas de transformações ortogonais.
As transformações geométricas de rotação e reflexão de pontos representados por seus vetores cartesianos são realizadas aplicando matrizes ortogonais sobre os vetores originais para obter as coordenadas dos vetores transformados. É por esta razão que as matrizes ortogonais são amplamente utilizadas no processamento gráfico de computador.
Propriedades
A matriz H é ortogonal se multiplicado pela sua transposta M T dá como resultado a matriz identidade I. Da mesma forma, o produto da transposição de uma matriz ortogonal pela matriz original resulta na matriz identidade:
MM T = M T M = I
Como consequência da afirmação anterior, temos que a transposta de uma matriz ortogonal é igual à sua matriz inversa:
M T = M -1 .
O conjunto de matrizes ortogonais de dimensão nxn forma o grupo ortogonal O (n). E o subconjunto de O (n) de matrizes ortogonais com determinante +1 forma o Grupo de Matrizes Especiais Unitárias SU (n). As matrizes do grupo SU (n) são matrizes que produzem transformações lineares de rotação, também conhecidas como grupo de rotações.
Demonstração
Queremos mostrar que uma matriz é ortogonal se, e somente se, os vetores linha (ou vetores coluna) são ortogonais entre si e da norma 1.
Suponha que as linhas de uma matriz ortogonal nxn sejam n vetores ortonormais de dimensão n. Se for denotado por v 1 , v 2 ,…, V n para os n vetores vale:
Onde é evidente que, de fato, o conjunto de vetores linha é um conjunto de vetores ortogonais com norma um.
Exemplos
Exemplo 1
Mostre que a matriz 2 x 2 que em sua primeira linha possui o vetor v1 = (-1 0) e em sua segunda linha o vetor v2 = (0 1) é uma matriz ortogonal.
Solução: A matriz M é construída e sua transposição M T é calculada:
Neste exemplo, a matriz M é autotransposta, ou seja, a matriz e sua transposta são idênticas. Multiplique M por sua transposta M T:
Verifica-se que MM T é igual à matriz identidade:
Quando a matriz M é multiplicada pelas coordenadas de um vetor ou ponto, são obtidas novas coordenadas que correspondem à transformação que a matriz realiza no vetor ou ponto.
A Figura 1 mostra como M transforma o vetor u em u ' e também como M transforma o polígono azul no polígono vermelho. Como M é ortogonal, trata-se de uma transformação ortogonal, que preserva as distâncias e os ângulos.
Exemplo 2
Suponha que você tenha uma matriz 2 x 2 definida em reais dados pela seguinte expressão:
Encontre os valores reais de a, b, c e d de modo que a matriz M seja uma matriz ortogonal.
Solução: Por definição, uma matriz é ortogonal se multiplicada pela sua transposta, a matriz identidade é obtida. Lembrando que a matriz transposta é obtida da original, trocando linhas por colunas, obtém-se a seguinte igualdade:
Realizando a multiplicação da matriz, temos:
Equacionando os elementos da matriz esquerda com os elementos da matriz identidade à direita, obtemos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas a, b, c e d.
Propomos para a, b, c e d as seguintes expressões em termos de relações trigonométricas seno e cosseno:
Com esta proposta e devido à identidade trigonométrica fundamental, a primeira e a terceira equações são satisfeitas automaticamente na igualdade dos elementos da matriz. A terceira e a quarta equações são as mesmas e em igualdade de matriz, após a substituição dos valores propostos, fica assim:
o que leva à seguinte solução:
Finalmente, as seguintes soluções são obtidas para a matriz ortogonal M:
Observe que a primeira das soluções possui determinante +1, portanto pertence ao grupo SU (2), enquanto a segunda solução possui determinante -1 e, portanto, não pertence a este grupo.
Exemplo 3
Dada a matriz a seguir, encontre os valores de a e de b para que tenhamos uma matriz ortogonal.
Solução: Para que uma determinada matriz seja ortogonal, o produto com sua transposta deve ser a matriz identidade. Em seguida, o produto da matriz da matriz dada com sua matriz transposta é realizado, dando o seguinte resultado:
Em seguida, o resultado é igualado à matriz de identidade 3 x 3:
Na segunda linha, a terceira coluna tem (ab = 0), mas a não pode ser zero, caso contrário, a igualdade dos elementos da segunda linha e da segunda coluna não seria cumprida. Então, necessariamente, b = 0. Substituindo b pelo valor 0, temos:
Então a equação é resolvida: 2a ^ 2 = 1, cujas soluções são: + ½√2 e -½√2.
Tomando a solução positiva para a, a seguinte matriz ortogonal é obtida:
O leitor pode verificar facilmente que os vetores linha (e também os vetores coluna) são ortogonais e unitários, ou seja, ortonormais.
Exemplo 4
Mostre que a matriz A cujos vetores linha são v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) e v3 = (0 0 -1) é uma matriz ortogonal. Além disso, encontre os vetores são transformados da base canônica i, j, k para os vetores u1, u2 e u3.
Solução: Deve-se lembrar que o elemento (i, j) de uma matriz multiplicado por sua transposta, é o produto escalar do vetor da linha (i) pelo da coluna (j) da transposta. Além disso, este produto é igual ao delta de Kronecker no caso de a matriz ser ortogonal:
No nosso caso, é assim:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Com o qual se mostra que é uma matriz ortogonal.
Além disso, u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) e finalmente u3 = A k = (0, 0, -1)
Referências
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Publicação de aprovação.
- Birkhoff e MacLane. (1980). Modern Algebra, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introdução à álgebra linear. Editorial da ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matemática de 30 segundos: as 50 teorias que mais expandem a mente na matemática. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Matriz ortogonal. Recuperado de: es.wikipedia.com
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