CONJUGADO BINOMIAL: COMO RESOLVER, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

Um binômio conjugado de outro binômio é aquele em que eles são diferenciados apenas por um sinal da operação. O binômio, como o próprio nome indica, é uma estrutura algébrica que consiste em dois termos.

Alguns exemplos de binômios são: (a + b), (3m - n) e (5x - y). E seus respectivos binômios conjugados são: (a - b), (-3m - n) e (5x + y). Como pode ser visto imediatamente, a diferença está no sinal.

Figura 1. Um binômio e seu binômio conjugado. Eles têm os mesmos termos, mas diferem no sinal. Fonte: F. Zapata.

Um binômio multiplicado por seu conjugado resulta em um produto notável, amplamente utilizado em álgebra e ciências. O resultado da multiplicação é a subtração dos quadrados dos termos do binômio original.

Por exemplo, (x - y) é um binômio e seu conjugado é (x + y). Portanto, o produto dos dois binômios é a diferença dos quadrados dos termos:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Como você resolve um binômio conjugado?

A regra declarada de binômios conjugados é a seguinte:

Como exemplo de aplicação, começaremos demonstrando o resultado anterior, o que pode ser feito utilizando-se a propriedade distributiva do produto em relação à soma algébrica.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

A multiplicação acima foi obtida seguindo estas etapas:

- O primeiro termo do primeiro binômio é multiplicado pelo primeiro termo do segundo

- Então o primeiro do primeiro, para o segundo do segundo

- Então o segundo do primeiro pelo primeiro do segundo

- Finalmente o segundo do primeiro pelo segundo do segundo.

Agora vamos fazer uma pequena mudança usando a propriedade comutativa: yx = xy. Se parece com isso:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Como existem dois termos iguais, mas de sinal oposto (destacados em cores e sublinhados), eles são cancelados e é simplificado:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Finalmente, aplica-se que multiplicar um número por ele mesmo equivale a elevá-lo ao quadrado, de forma que xx = x ² e também yy = y ².

Desta forma, é demonstrado o que foi indicado na seção anterior, que o produto de uma soma e sua diferença é a diferença dos quadrados:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Figura 2. Uma soma vezes sua diferença é uma diferença de quadrados. Fonte: F. Zapata.

Exemplos

- Binômios conjugados de várias expressões

Exemplo 1

Encontre o conjugado de (y ² - 3y).

Resposta: (y ² + 3y)

Exemplo 2

Obtenha o produto de (y ² - 3y) e seu conjugado.

Resposta: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Exemplo 3

Revele o produto (1 + 2a). (2a -1).

Resposta: a expressão anterior equivale a (2a + 1). (2a -1), ou seja, corresponde ao produto de um binômio e seu conjugado.

Sabe-se que o produto de um binômio pelo seu binômio conjugado é igual à diferença dos quadrados dos termos do binômio:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Exemplo 4

Escreva o produto (x + y + z) (x - y - z) como uma diferença de quadrados.

Resposta: podemos assimilar os trinômios acima à forma binomial conjugada, usando cuidadosamente os parênteses e colchetes:

(x + y + z) (x - y - z) =

Desta forma, a diferença de quadrados pode ser aplicada:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Exemplo 5

Exprime-se o produto (m ² - m -1). (H ² + m -1) como uma diferença de quadrados.

Resposta: a expressão anterior é o produto de dois trinômios. Deve primeiro ser reescrito como o produto de dois binômios conjugados:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Aplicamos o fato de que o produto de um binômio por seu conjugado é a diferença quadrática de seus termos, como foi explicado:

. = (m ² -1) ² - m ²

Exercícios

Como sempre, você começa com os exercícios mais simples e depois aumenta o nível de complexidade.

- Exercício 1

Escreva (9 - a ²) como um produto.

Solução

Primeiramente, reescrevemos a expressão como diferença de quadrados, a fim de aplicar o que foi explicado anteriormente. Portanto:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²)

Em seguida, fatoramos, o que equivale a escrever essa diferença de quadrados como um produto, conforme solicitado na instrução:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²) = (3 + a) (3 -a)

- Exercício 2

Fator 16x ² - 9y ⁴.

Solução

Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto. Neste caso, é necessário reescrever previamente a expressão, para obter uma diferença de quadrados.

Não é difícil fazer isso, visto que olhando com atenção, todos os fatores são quadrados perfeitos. Por exemplo, 16 é o quadrado de 4, 9 é o quadrado de 3 e ⁴ é o quadrado de y ² e x ² é o quadrado de x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

Em seguida, aplicamos o que já sabemos anteriormente: que uma diferença de quadrados é o produto de binômios conjugados:

(4x) ² - (3 e ²) ² = (4x - 3 e ²). (4x + 3 e ²)

- Exercício 3

Escreva (a - b) como um produto de binômios

Solução

A diferença acima deve ser escrita como diferenças de quadrados

(√a) ² - (√b) ²

Em seguida, é aplicado que a diferença de quadrados é o produto dos binômios conjugados

(√a - √b) (√a + √b)

- Exercício 4

Um dos usos do binômio conjugado é a racionalização de expressões algébricas. Este procedimento consiste em eliminar as raízes do denominador de uma expressão fracionária, o que em muitos casos facilita as operações. É necessário usar o binômio conjugado para racionalizar a seguinte expressão:

√ (2-x) /

Solução

A primeira coisa é identificar o binômio conjugado do denominador:.

Agora, multiplicamos o numerador e o denominador da expressão original pelo binômio conjugado:

√ (2-x) / {.}

No denominador da expressão anterior reconhecemos o produto de uma diferença por uma soma, que já sabemos corresponde à diferença dos quadrados dos binômios:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Simplificar o denominador é:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Agora tratamos do numerador, ao qual aplicaremos a propriedade distributiva do produto em relação à soma:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Na expressão anterior reconhecemos o produto do binômio (2-x) por seu conjugado, que é o produto notável igual à diferença dos quadrados. Desta forma, uma expressão racionalizada e simplificada é finalmente obtida:

/ (1 - x)

- Exercício 5

Desenvolva o seguinte produto, usando as propriedades do binômio conjugado:

Solução

4º ^{(2x + 6y)} - 9º ^{(2x - 6y)} = 4º ^(2x).a ^(6y) - 9º ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

O leitor atento terá notado o fator comum destacado em cores.

Referências

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Exercícios binomiais conjugados. Recuperado de: academia.edu.
3. Professor de matemática Alex. Produtos notáveis. Recuperado de youtube.com.
4. Math2me. Binômios conjugados / produtos notáveis. Recuperado de youtube.com.
5. Produtos binomiais conjugados. Recuperado de: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binômios conjugados. Recuperado de: youtube.com.