- Para que serve o coeficiente de restituição?
- Momentum
- Energia e coeficiente de restituição
- Como é calculado o coeficiente de restituição?
- Exemplo
- Solução
- Referências
O coeficiente de restituição é o quociente entre a velocidade relativa de recuo e a velocidade relativa de aproximação de dois corpos em colisão. Quando os corpos são unidos após a colisão, esse quociente é zero. E a unidade vale no caso de a colisão ser perfeitamente elástica.
Suponha que duas esferas sólidas de massa M1 e massa M2, respectivamente, colidam. Pouco antes da colisão, as esferas tinham velocidades V1 e V2 em relação a um determinado referencial inercial. Logo após a colisão, suas velocidades mudam para V1 ' e V2'.
Figura 1. Colisão de duas esferas de massas M1 e M2 e seu coeficiente de restituição e. Preparado por Ricardo Pérez.
O tipo negrito foi colocado nas velocidades para indicar que são quantidades vetoriais.
As experiências indicam que cada colisão cumpre a seguinte relação:
V1 ' - V2' = -e (V1 - V2)
Onde e é um número real entre 0 e 1, denominado coeficiente de restituição da colisão. A expressão acima é interpretada assim:
A velocidade relativa de duas partículas antes da colisão é proporcional à velocidade relativa das duas partículas após a colisão, a constante de proporcionalidade é (-e), onde e é o coeficiente de restituição da colisão.
Para que serve o coeficiente de restituição?
A utilidade desse coeficiente está em saber o grau de inelasticidade de uma colisão. Caso a colisão seja perfeitamente elástica, o coeficiente será 1, enquanto em uma colisão completamente inelástica o coeficiente será 0, pois neste caso a velocidade relativa após a colisão é zero.
Por outro lado, se o coeficiente de restituição de uma colisão e as velocidades das partículas antes dela forem conhecidas, então as velocidades após a ocorrência da colisão podem ser previstas.
Momentum
Nas colisões, além da relação estabelecida pelo coeficiente de restituição, existe outra relação fundamental, que é a conservação do momentum.
O momento p de uma partícula, ou momento como também é chamado, é o produto da massa M da partícula e sua velocidade V. Ou seja, o momento p é uma grandeza vetorial.
Em colisões, o momento linear P do sistema é o mesmo imediatamente antes e logo após a colisão, porque as forças externas são insignificantes em comparação com as breves, mas intensas forças de interação interna durante a colisão. Mas a conservação do momento P do sistema não é suficiente para resolver o problema geral da colisão.
No caso mencionado anteriormente, o das duas esferas em colisão de massas M1 e M2, a conservação do momento linear é escrita assim:
M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2'.
Não há como resolver o problema da colisão se o coeficiente de restituição não for conhecido. A conservação do momento, embora necessária, é insuficiente para prever as velocidades após a colisão.
Quando um problema indica que os corpos permanecem se movendo juntos após a colisão, isso implicitamente diz que o coeficiente de restituição é 0.
Figura 2. Nas bolas de bilhar ocorrem colisões com coeficiente de restituição pouco inferior a 1. Fonte: Pixabay.
Energia e coeficiente de restituição
A outra quantidade física importante envolvida nas colisões é a energia. Durante as colisões, há trocas de energia cinética, energia potencial e outros tipos de energia, como energia térmica.
Antes e depois da colisão, a energia potencial de interação é praticamente zero, portanto o balanço energético envolve a energia cinética das partículas antes e depois e uma quantidade Q chamada energia dissipada.
Para as duas esferas de massa em colisão M1 e M2, o balanço de energia antes e depois da colisão é escrito da seguinte forma:
½ M1 V1 ^ 2 + ½ M2 V2 ^ 2 = ½ M1 V1 ' ^ 2 + ½ M2 V2' ^ 2 + Q
Quando as forças de interação durante a colisão são puramente conservativas, ocorre que a energia cinética total das partículas em colisão é conservada, ou seja, é a mesma antes e depois da colisão (Q = 0). Quando isso acontece, a colisão é considerada perfeitamente elástica.
Em casos de colisões elásticas, nenhuma energia é dissipada. E também o coeficiente de restituição cumpre: e = 1.
Pelo contrário, nas colisões inelásticas Q ≠ 0 e 0 ≤ e <1. Sabemos, por exemplo, que a colisão de bolas de bilhar não é perfeitamente elástica porque o som que é emitido durante o impacto faz parte da energia dissipada.
Para que um problema de colisão seja perfeitamente determinado, é necessário conhecer o coeficiente de restituição ou, alternativamente, a quantidade de energia dissipada durante a colisão.
O coeficiente de restituição depende da natureza e do tipo de interação entre os dois corpos durante a colisão.
Por sua vez, a velocidade relativa dos corpos antes da colisão definirá a intensidade da interação e, portanto, sua influência no coeficiente de restituição.
Como é calculado o coeficiente de restituição?
Para ilustrar como o coeficiente de restituição de uma colisão é calculado, tomaremos um caso simples:
Suponha a colisão de duas esferas de massas M1 = 1 kg e M2 = 2 kg movendo-se sobre um trilho reto sem atrito (como na Figura 1).
A primeira esfera colide com velocidade inicial V1 = 1 m / s na segunda que está originalmente em repouso, ou seja, V2 = 0 m / s.
Após a colisão, eles se movem assim: o primeiro para (V1 '= 0 m / s) e o segundo se move para a direita com velocidade V2' = 1/2 m / s.
Para calcular o coeficiente de restituição nesta colisão, aplicamos a relação:
V1 '- V2' = -e ( V1 - V2 )
0 m / s - 1/2 m / s = - e (1 m / s - 0 m / s) => - 1/2 = - e => e = 1/2.
Exemplo
No choque unidimensional das duas esferas da seção anterior, seu coeficiente de restituição foi calculado, resultando em e = ½.
Como e ≠ 1 a colisão não é elástica, ou seja, a energia cinética do sistema não é conservada e há uma certa quantidade de energia dissipada Q (por exemplo, aquecimento das esferas devido à colisão).
Determine o valor da energia dissipada em Joules. Calcule também a porcentagem da fração de energia dissipada.
Solução
A energia cinética inicial da esfera 1 é:
K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 kg (1 m / s) ^ 2 = ½ J
enquanto a da esfera 2 é zero porque está inicialmente em repouso.
Então, a energia cinética inicial do sistema é Ki = ½ J.
Após a colisão, apenas a segunda esfera se move com velocidade V2 '= ½ m / s, então a energia cinética final do sistema será:
Kf = ½ M2 V2 '^ 2 = ½ 2 kg (½ m / s) ^ 2 = ¼ J
Ou seja, a energia dissipada na colisão é:
Q = Ki - Kf = (½ J - ¼ J) = 1/4 J
E a fração de energia dissipada nesta colisão é calculada da seguinte forma:
f = Q / Ki = ¼ / ½ = 0,5, ou seja, 50% da energia do sistema se dissipou devido à colisão inelástica cujo coeficiente de restituição é 0,5.
Referências
- Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
- Figueroa, D. 2005. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
- Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1.
- Wikipedia. Quantidade de movimento recuperado de: en.wikipedia.org.