CONGRUÊNCIA: FIGURAS CONGRUENTES, CRITÉRIOS, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

A congruência em geometria diz que se duas figuras planas têm a mesma forma e dimensões, elas são congruentes. Por exemplo, dois segmentos são congruentes quando seus comprimentos são iguais. Da mesma forma, ângulos congruentes têm a mesma medida, embora não sejam orientados da mesma maneira no plano.

O termo "congruência" vem do latim congruentia, cujo significado é correspondência. Assim, duas figuras congruentes correspondem exatamente uma à outra.

Figura 1. Quadriláteros ABCD e A'B'C'D 'na figura são congruentes: seus lados têm a mesma medida, assim como seus ângulos internos. Fonte: F. Zapata.

Por exemplo, se sobrepormos os dois quadriláteros na imagem, descobriremos que eles são congruentes, já que a disposição de seus lados é idêntica e medem a mesma.

Colocando os quadriláteros ABCD e A'B'C'D 'um sobre o outro, os números corresponderão exatamente. Os lados coincidentes são chamados de lados homólogos ou correspondentes e o símbolo ≡ é usado para expressar congruência. Portanto, podemos dizer que ABCD ≡ A'B'C'D '.

Critérios de congruência

As seguintes características são comuns a polígonos congruentes:

-A mesma forma e tamanho.

-Medições idênticas de seus ângulos.

-A mesma medida em cada um de seus lados.

No caso de dois polígonos em questão serem regulares, ou seja, todos os lados e ângulos internos medem o mesmo, a congruência é garantida quando qualquer uma das seguintes condições for atendida:

-Os lados são congruentes

-Os apotemas têm a mesma medida

-O raio de cada polígono mede o mesmo

O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro e um dos lados, enquanto o raio corresponde à distância entre o centro e um vértice ou canto da figura.

Os critérios de congruência são usados ​​com frequência porque muitas partes e peças de todos os tipos são produzidas em massa e devem ter a mesma forma e medidas. Desta forma, eles podem ser facilmente substituídos quando necessário, por exemplo, porcas, parafusos, folhas ou pedras de pavimentação no chão da rua.

Figura 2. As pedras do calçamento da rua são figuras congruentes, pois sua forma e dimensões são exatamente as mesmas, embora sua orientação no chão possa mudar. Fonte: Pixabay.

Congruência, identidade e semelhança

Existem conceitos geométricos relacionados à congruência, por exemplo, figuras idênticas e figuras semelhantes, o que não implica necessariamente que as figuras sejam congruentes.

Observe que as figuras congruentes são idênticas, porém os quadriláteros na Figura 1 podem ser orientados de maneiras diferentes no plano e ainda assim permanecer congruentes, uma vez que a orientação diferente não altera o tamanho de seus lados ou seus ângulos. Nesse caso, eles não seriam mais idênticos.

O outro conceito é o da semelhança de figuras: duas figuras planas são semelhantes se têm a mesma forma e seus ângulos internos medem o mesmo, embora o tamanho das figuras possa ser diferente. Se for esse o caso, os números não são congruentes.

Exemplos de congruência

- Congruência de ângulos

Como indicamos no início, ângulos congruentes têm a mesma medida. Existem várias maneiras de obter ângulos congruentes:

Exemplo 1

Duas linhas com um ponto em comum definem dois ângulos, chamados ângulos opostos por causa do vértice. Esses ângulos têm a mesma medida, portanto são congruentes.

Figura 3. Ângulos opostos pelo vértice. Fonte: Wikimedia Commons.

Exemplo 2

Existem duas linhas paralelas mais uma linha t que cruza as duas. Como no exemplo anterior, quando esta linha cruza os paralelos, ela gera ângulos congruentes, um em cada linha do lado direito e outros dois do lado esquerdo. A figura mostra α e α ₁, à direita da linha t, que são congruentes.

Figura 4. Os ângulos mostrados na figura são congruentes. Fonte: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Exemplo 3

Em um paralelogramo, existem quatro ângulos internos, que são congruentes de dois para dois. São aqueles entre vértices opostos, como mostra a figura a seguir, em que os dois ângulos em verde são congruentes, assim como os dois ângulos em vermelho.

Figura 5. Os ângulos internos do paralelogramo são congruentes dois a dois. Fonte: Wikimedia Commons.

- Congruência de triângulos

Dois triângulos da mesma forma e tamanho são congruentes. Para verificar isso, existem três critérios que podem ser examinados em busca de congruência:

- Critério LLL: os três lados dos triângulos têm as mesmas medidas, portanto L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ e L ₃ = L' _3.

Figura 6. Exemplo de triângulos congruentes, cujos lados têm a mesma medida. Fonte: F. Zapata.

- Critérios ALA e AAL: os triângulos têm dois ângulos internos iguais e o lado entre esses ângulos tem a mesma medida.

Figura 7. Critérios ALA e AAL para congruência de triângulos. Fonte: Wikimedia Commons.

- Critério LAL: dois dos lados são idênticos (correspondentes) e existe o mesmo ângulo entre eles.

Figura 8. Critério LAL para congruência de triângulos. Fonte: Wikimedia Commons.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Dois triângulos são mostrados na figura a seguir: ΔABC e ΔECF. Sabe-se que AC = EF, que AB = 6 e CF = 10. Além disso, os ângulos ∡BAC e ∡FEC são congruentes e os ângulos ∡ACB e ∡FCB também são congruentes.

Figura 9. Triângulos para o exemplo trabalhado 1. Fonte: F. Zapata.

Então, o comprimento do segmento BE é igual a:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Solução

Como os dois triângulos têm um lado de igual comprimento AC = EF entre os ângulos iguais ∡BAC = ∡CEF e ∡BCA = ∡CFE, pode-se dizer que os dois triângulos são congruentes pelo critério ALA.

Ou seja, ΔBAC ≡ ΔCEF, então temos que:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Mas o segmento a ser calculado é BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Portanto, a resposta correta é (iii).

- Exercício 2

Três triângulos são mostrados na figura abaixo. Sabe-se também que os dois ângulos indicados medem 80º cada e que os segmentos AB = PD e AP = CD. Encontre o valor do ângulo X indicado na figura.

Figura 10. Triângulos para o exemplo resolvido 2. Fonte: F. Zapata.

Solução

Você deve aplicar as propriedades dos triângulos, que são detalhadas passo a passo.

Passo 1

Começando com o critério de congruência do triângulo LAL, pode-se afirmar que os triângulos BAP e PDC são congruentes:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Passo 2

O exposto leva a afirmar que BP = PC, portanto o triângulo ΔBPC é isósceles e ∡PCB = ∡PBC = X.

etapa 3

Se chamarmos o ângulo BPC de γ, segue-se que:

2x + γ = 180º

Passo 4

E se chamarmos os ângulos APB e DCP de β e α os ângulos ABP e DPC, temos:

α + β + γ = 180º (já que APB é um ângulo plano).

Etapa 5

Além disso, α + β + 80º = 180º pela soma dos ângulos internos do triângulo APB.

Etapa 6

Combinando todas essas expressões, temos:

α + β = 100º

Etapa 7

E, por conseguinte:

γ = 80º.

Etapa 8

Finalmente, segue-se que:

2X + 80º = 180º

Com X = 50º.

Referências

1. Baldor, A. 1973. Plane and Space Geometry. Cultural da América Central.
2. Fundação CK-12. Polígonos congruentes. Recuperado de: ck 12.org.
3. Aprecie a matemática. Definições: Raio (polígono). Recuperado de: enjoylasmatematicas.com.
4. Referência de matemática aberta. Testando polígonos para congruência. Recuperado de: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Congruência (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Triângulos, história, elementos, classificação, propriedades. Recuperado de: lifeder.com.