COORDENADAS CILÍNDRICAS: SISTEMA, MUDANÇA E EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

As coordenadas cilíndricas são usadas para localizar pontos no espaço tridimensional e consistem em uma coordenada radial ρ, φ coordenada azimutal e coordenada z de altura.

Um ponto P localizado no espaço é projetado ortogonalmente no plano XY dando origem ao ponto P 'naquele plano. A distância da origem ao ponto P 'define a coordenada ρ, enquanto o ângulo entre o eixo X e o raio OP' define a coordenada φ. Finalmente, a coordenada z é a projeção ortogonal do ponto P no eixo Z. (veja a figura 1).

Figura 1. Ponto P de coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z). (Elaboração própria)

A coordenada radial ρ é sempre positiva, a coordenada azimutal φ varia de zero radianos a dois pi radianos, enquanto a coordenada z pode assumir qualquer valor real:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Mudança de coordenadas

É relativamente fácil obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P a partir de suas coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sen (φ)

z = z

Mas também é possível obter as coordenadas polares (ρ, φ, z) a partir do conhecimento das coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = arctan (y / x)

z = z

Base vetorial em coordenadas cilíndricas

A base dos vetores unitários cilíndricos Uρ, Uφ, Uz é definida.

O vetor Uρ é tangente à reta φ = ctte ez = ctte (apontando radialmente para fora), o vetor Uφ é tangente à reta ρ = ctte ez = ctte e finalmente Uz tem a mesma direção do eixo Z.

Figura 2. Base de coordenadas cilíndricas. (wikimedia commons)

Na base da unidade cilíndrica, o vetor posição r de um ponto P é escrito vetorialmente assim:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Por outro lado, um deslocamento infinitesimal d r do ponto P é expresso da seguinte forma:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Da mesma forma, um elemento infinitesimal de volume dV em coordenadas cilíndricas é:

dV = ρ dρ dφ dz

Exemplos

Existem inúmeros exemplos de uso e aplicação de coordenadas cilíndricas. Na cartografia, por exemplo, usa-se a projeção cilíndrica, baseada justamente nessas coordenadas. Existem mais exemplos:

Exemplo 1

As coordenadas cilíndricas têm aplicações em tecnologia. Como exemplo, temos o sistema CHS (Cylinder-Head-Sector) de localização de dados em um disco rígido, que na verdade consiste em vários discos:

- O cilindro ou pista corresponde à coordenada ρ.

- O setor corresponde à posição φ do disco que gira em alta velocidade angular.

- A cabeça corresponde à posição z da cabeça de leitura no disco correspondente.

Cada byte de informação possui um endereço preciso em coordenadas cilíndricas (C, S, H).

Figura 2. Localização das informações em coordenadas cilíndricas em um sistema de disco rígido. (wikimedia commons)

Exemplo 2

Os guindastes de construção fixam a posição da carga em coordenadas cilíndricas. A posição horizontal é definida pela distância ao eixo ou seta da grua ρ e pela sua posição angular φ em relação a algum eixo de referência. A posição vertical da carga é determinada pela coordenada z da altura.

Figura 3. A posição da carga em um guindaste de construção pode ser facilmente expressa em coordenadas cilíndricas. (imagem pixabay - anotações R. Pérez)

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Existem pontos P1 com coordenadas cilíndricas (3, 120º, -4) e ponto P2 com coordenadas cilíndricas (2, 90º, 5). Encontre a distância euclidiana entre esses dois pontos.

Solução: Primeiramente, procuramos encontrar as coordenadas cartesianas de cada ponto seguindo a fórmula que foi dada acima.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sen 90º, 5) = (0, 2, 5)

A distância euclidiana entre P1 e P2 é:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Exercício 2

O ponto P possui coordenadas cartesianas (-3, 4, 2). Encontre as coordenadas cilíndricas correspondentes.

Solução: Procuramos encontrar as coordenadas cilíndricas usando as relações fornecidas acima:

ρ = √ (x ² + y ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Deve ser lembrado que a função arco tangente é multivalorada com periodicidade de 180º. Além disso, o ângulo φ deve pertencer ao segundo quadrante, uma vez que as coordenadas xey do ponto P estão nesse quadrante. Esta é a razão pela qual 180º foi adicionado ao resultado φ.

Exercício 3

Expressa em coordenadas cilíndricas e em coordenadas cartesianas a superfície de um cilindro de raio 2 e cujo eixo coincide com o eixo Z.

Solução: Entende-se que o cilindro possui extensão infinita na direção z, portanto a equação da referida superfície em coordenadas cilíndricas é:

ρ = 2

Para obter a equação cartesiana da superfície cilíndrica, o quadrado de ambos os membros da equação anterior é tomado:

ρ ² = 4

Multiplicamos ambos os membros da igualdade anterior por 1 e aplicamos a identidade trigonométrica fundamental (sen ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

O parêntese é desenvolvido para obter:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Lembramos que o primeiro parêntese (ρ sin (φ)) é a coordenada y de um ponto em coordenadas polares, enquanto os parênteses (ρ cos (φ)) representam a coordenada x, de modo que temos a equação do cilindro em coordenadas Cartesiano:

y ² + x ² = 2 ²

A equação acima não deve ser confundida com a de uma circunferência no plano XY, pois neste caso seria assim: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}.

Exercício 4

Um cilindro de raio R = 1 me altura H = 1m tem sua massa distribuída radialmente de acordo com a seguinte equação D (ρ) = C (1 - ρ / R) onde C é uma constante de valor C = 1 kg / m ³. Encontre a massa total do cilindro em quilogramas.

Solução: A primeira coisa é perceber que a função D (ρ) representa a densidade de massa volumétrica, e que a densidade de massa é distribuída em cascas cilíndricas de densidade decrescente do centro para a periferia. Um elemento infinitesimal de volume de acordo com a simetria do problema é:

dV = ρ dρ 2π H

Portanto, a massa infinitesimal de uma casca cilíndrica será:

dM = D (ρ) dV

Portanto, a massa total do cilindro será expressa pela seguinte integral definida:

M = ∫ _ou ^R D (ρ) dV = ∫ _ou ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _ou ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

A solução da integral indicada não é difícil de obter, sendo o seu resultado:

∫ _ou ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Incorporando este resultado na expressão da massa do cilindro, obtemos:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Referências

1. Arfken G e Weber H. (2012). Métodos matemáticos para físicos. Um guia completo. 7ª edição. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Cálculo cc. Resolvidos problemas de coordenadas cilíndricas e esféricas. Recuperado de: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cylindrical Coordinates." Da MathWorld - A Wolfram Web. Recuperado de: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Sistema de coordenadas cilíndricas. Recuperado de: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Campos de vetor em coordenadas cilíndricas e esféricas. Recuperado de: en.wikipedia.com