DERIVADAS PARCIAIS: NOTAÇÃO, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - MATEMÁTICAS - 2025

As derivadas parciais de uma função de várias variáveis ​​são aquelas que determinam a taxa de mudança da função quando uma das variáveis ​​tem uma variação infinitesimal, enquanto as outras variáveis ​​permanecem inalteradas.

Para tornar a ideia mais concreta, suponha o caso de uma função de duas variáveis: z = f (x, y). A derivada parcial da função f em relação à variável x é calculada como a derivada ordinária em relação a x, mas tomando a variável y como se fosse constante.

Figura 1. Função f (x, y) e suas derivadas parciais ∂ _x f y ∂ _y f no ponto P. (Elaborado por R. Pérez com geogebra)

Notação de derivada parcial

A operação derivada parcial da função f (x, y) na variável x é denotada de qualquer uma das seguintes maneiras:

Em derivadas parciais, o símbolo ∂ (um tipo de letra d arredondada também chamada de d de Jacobi) é usado, ao contrário da derivada comum para funções de variável única onde a letra d é usada para derivada.

Em termos gerais, a derivada parcial de uma função multivariada, em relação a uma de suas variáveis, resulta em uma nova função nas mesmas variáveis ​​da função original:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Cálculo e significado da derivada parcial

Para determinar a taxa de mudança ou inclinação da função para um ponto específico (x = a, y = b) na direção paralela ao eixo X:

1- A função ∂ _x f (x, y) = g (x, y) é calculada, tomando a derivada ordinária na variável x e deixando a variável y fixa ou constante.

2- Em seguida, o valor do ponto x = aey = b é substituído no qual queremos saber a taxa de variação da função na direção x:

{Incline na direção x no ponto (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Para calcular a taxa de mudança na direção y no ponto de coordenada (a, b), primeiro calcule ∂ _e f (x, y) = h (x, y).

4- Então o ponto (x = a, y = b) é substituído no resultado anterior para obter:

{Incline na direção y no ponto (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Exemplos de derivadas parciais

Alguns exemplos de derivados parciais são os seguintes:

Exemplo 1

Dada a função:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Encontre as derivadas parciais da função f em relação à variável xea variável y.

Solução:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Observe que para calcular a derivada parcial da função f em relação à variável x, a derivada ordinária em relação a x foi realizada, mas a variável y foi tomada como se fosse constante. Da mesma forma, no cálculo da derivada parcial de f em relação ay, a variável x foi tomada como se fosse uma constante.

A função f (x, y) é uma superfície chamada parabolóide mostrada na figura 1 em cor ocre.

Exemplo 2

Encontre a taxa de mudança (ou inclinação) da função f (x, y) do Exemplo 1, na direção do eixo X e do eixo Y para o ponto (x = 1, y = 2).

Solução: Para encontrar as inclinações nas direções xey em um determinado ponto, basta substituir os valores do ponto na função ∂ _x f (x, y) e na função ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _e f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

A Figura 1 mostra a reta tangente (na cor vermelha) à curva determinada pela interseção da função f (x, y) com o plano y = 2, a inclinação desta reta é -2. A Figura 1 também mostra a reta tangente (em verde) à curva que define a interseção da função f com o plano x = 1; Esta linha tem inclinação -4.

Exercícios

Exercício 1

Um vidro em forma de cone em um determinado momento contém água, de modo que a superfície da água tem raio re profundidade h. Mas o vidro tem um pequeno orifício no fundo pelo qual a água é perdida a uma taxa de C centímetros cúbicos por segundo. Determine a taxa de descida da superfície da água em centímetros por segundo.

Solução:

Antes de mais nada, é preciso lembrar que o volume de água no instante dado é:

O volume é função de duas variáveis, raio re profundidade h: V (r, h).

Quando o volume muda em uma quantidade infinitesimal dV, o raio r da superfície da água e a profundidade h da água também mudam de acordo com a seguinte relação:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Prosseguimos para calcular as derivadas parciais de V em relação a r e h, respectivamente:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Além disso, o raio re a profundidade h atendem à seguinte relação:

Dividindo ambos os membros pelo diferencial de tempo dt dá:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Mas dV / dt é o volume de água perdido por unidade de tempo que se sabe ser C centímetros por segundo, enquanto dh / dt é a razão de descida da superfície livre da água, que será chamada de v. Ou seja, a superfície da água no instante dado desce a uma velocidade v (em cm / s) dada por:

v = C / (π r ^ 2).

Como aplicação numérica, suponha que r = 3 cm, h = 4 cm, e a taxa de vazamento C é 3 cm ^ 3 / s. Então, a velocidade de descida da superfície naquele instante é:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Exercício 2

O teorema de Clairaut-Schwarz afirma que se uma função é contínua em suas variáveis ​​independentes e suas derivadas parciais em relação às variáveis ​​independentes também são contínuas, então as derivadas mistas de segunda ordem podem ser trocadas. Verifique este teorema para a função

f (x, y) = x ^ 2 y, ou seja, deve ser verdade que f _xy f = ∂ _yx f.

Solução:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) enquanto ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

O teorema de Schwarz provou ser válido, uma vez que a função f e suas derivadas parciais são contínuas para todos os números reais.

Referências

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Cálculo 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). O cálculo com geometria analítica. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Cálculo. México: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial. Hipotenusa.
5. Saenz, J. (2006). Cálculo integral. Hipotenusa.
6. Wikipedia. Derivativo parcial. Recuperado de: es.wikipedia.com