- Exemplos
- Fatorando uma diferença de cubos
- Exemplo 1
- Exemplo 2
- Exemplo 3
- Exercício resolvido
- Exercício 1
- Solução para
- Solução b
- Exercício 2
- Solução
- Referências
A diferença de cubos é uma expressão algébrica binomial da forma a 3 - b 3, onde os termos a e b podem ser números reais ou expressões algébricas de vários tipos. Um exemplo de diferença de cubos é: 8 - x 3, já que 8 pode ser escrito como 2 3.
Geometricamente, podemos pensar em um cubo grande, com lado a, do qual o cubo pequeno com lado b é subtraído, conforme ilustrado na figura 1:
Figura 1. Uma diferença de cubos. Fonte: F. Zapata.
O volume da figura resultante é precisamente uma diferença de cubos:
V = a 3 - b 3
Para encontrar uma expressão alternativa, observa-se que esta figura pode ser decomposta em três prismas, conforme mostrado a seguir:
Figura 2. A diferença dos cubos (esquerda da igualdade) é igual à soma dos volumes parciais (direita). Fonte: F. Zapata.
Um prisma tem um volume dado pelo produto de suas três dimensões: largura x altura x profundidade. Desta forma, o volume resultante é:
V = a 3 - b 3 = a 2.b + b 3 + ab 2
O fator b é comum à direita. Além disso, na figura mostrada acima, é particularmente verdade que:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Portanto, pode-se dizer que: b = a - b. Desta forma:
Esta forma de expressar a diferença dos cubos será muito útil em muitas aplicações e teria sido obtida da mesma forma, mesmo que o lado do cubo que faltava no canto fosse diferente de b = a / 2.
Observe que o segundo parêntese se parece muito com o produto notável do quadrado da soma, mas o termo cruzado não é multiplicado por 2. O leitor pode expandir o lado direito para verificar se a 3 - b 3 foi realmente obtido.
Exemplos
Existem várias diferenças de cubos:
1 - m 6
a 6 b 3 - 8z 12 e 6
(1/125).x 6 - 27.y 9
Vamos analisar cada um deles. No primeiro exemplo, o 1 pode ser escrito como 1 = 1 3 e o termo m 6 torna-se: (m 2) 3. Ambos os termos são cubos perfeitos, portanto, sua diferença é:
1 - m 6 = 1 3 - (m 2) 3
No segundo exemplo, os termos são reescritos:
a 6 b 3 = (a 2 b) 3
8z 12 y 6 = 2 3 (z 4) 3 (y 2) 3 = (2z 4 y 2) 3
A diferença desses cubos é: (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2) 3.
Finalmente, a fração (1/125) é (1/5 3), x 6 = (x 2) 3, 27 = 3 3 ey 9 = (y 3) 3. Substituindo tudo isso na expressão original, você obtém:
(1/125).x 6 - 27y 9 = 3 - (3y 3) 3
Fatorando uma diferença de cubos
Fatorar a diferença de cubos simplifica muitas operações algébricas. Para fazer isso, basta usar a fórmula deduzida acima:
Figura 3. Fatoração da diferença de cubos e expressão de um quociente notável. Fonte: F. Zapata.
Agora, o procedimento para aplicar esta fórmula consiste em três etapas:
- Em primeiro lugar, obtém-se a raiz cúbica de cada um dos termos da diferença.
- Em seguida, são construídos o binômio e o trinômio que aparecem no lado direito da fórmula.
- Por fim, o binômio e o trinômio são substituídos para obter a fatoração final.
Vamos ilustrar o uso dessas etapas com cada um dos exemplos de diferença de cubos propostos acima e assim obter seu equivalente fatorado.
Exemplo 1
Fatore a expressão 1 - m 6 seguindo as etapas descritas. Começamos reescrevendo a expressão como 1 - m 6 = 1 3 - (m 2) 3 para extrair as respectivas raízes cúbicas de cada termo:
Em seguida, o binômio e o trinômio são construídos:
a = 1
b = m 2
Assim:
a - b = 1 - m 2
(um 2 + AB + b 2) = 1 2 + 1.m 2 + (m 2) 2 = 1 + m 2 + m 4
Finalmente, é substituído na fórmula a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2):
1 - m 6 = (1 - m 2) (1 + m 2 + m 4)
Exemplo 2
Fatorar:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2) 3
Como esses são cubos perfeitos, as raízes cúbicas são imediatas: a 2 be 2z 4 e 2, portanto, segue-se que:
- Binomial: a 2 b - 2z 4 e 2
- Trinomial: (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2) 2
E agora a fatoração desejada é construída:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2). =
= (a 2 b - 2z 4 y 2).
Em princípio, o factoring está pronto, mas muitas vezes é necessário simplificar cada termo. Em seguida, o notável produto -quadrado de uma soma- que aparece no final é desenvolvido e, em seguida, termos semelhantes são adicionados. Lembrando que o quadrado de uma soma é:
O produto notável à direita é desenvolvido assim:
(a 2 b + 2z 4 e 2) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 e 2 + 4z 8 e 4
Substituindo a expansão obtida na fatoração da diferença de cubos:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2). =
Finalmente, agrupando como termos e fatorando os coeficientes numéricos, que são todos pares, obtemos:
(a 2 b - 2z 4 y 2). = 2 (a 2 b - 2z 4 y 2).
Exemplo 3
Fatorar (1/125) x 6 - 27y 9 é muito mais fácil do que o caso anterior. Primeiro, os equivalentes de a e de b são identificados:
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
Em seguida, eles são substituídos diretamente na fórmula:
(1/125).x 6 - 27y 9 =.
Exercício resolvido
A diferença de cubos tem, como dissemos, uma variedade de aplicações em Álgebra. Vamos ver alguns:
Exercício 1
Resolva as seguintes equações:
a) x 5 - 125 x 2 = 0
b) 64 - 729 x 3 = 0
Solução para
Primeiro, a equação é fatorada desta maneira:
x 2 (x 3 - 125) = 0
Como 125 é um cubo perfeito, os parênteses são escritos como uma diferença de cubos:
x 2. (x 3 - 5 3) = 0
A primeira solução é x = 0, mas descobriremos mais se fizermos x 3 - 5 3 = 0, então:
x 3 = 5 3 → x = 5
Solução b
O lado esquerdo da equação é reescrito como 64 - 729 x 3 = 4 3 - (9x) 3. Portanto:
4 3 - (9x) 3 = 0
Já que o expoente é o mesmo:
9x = 4 → x = 9/4
Exercício 2
Fatore a expressão:
(x + y) 3 - (x - y) 3
Solução
Esta expressão é uma diferença de cubos, se na fórmula de fatoração notarmos que:
a = x + y
b = x- y
Em seguida, o binômio é construído primeiro:
a - b = x + y - (x- y) = 2y
E agora o trinômio:
a 2 + ab + b 2 = (x + y) 2 + (x + y) (xy) + (xy) 2
Produtos notáveis são desenvolvidos:
Em seguida, você deve substituir e reduzir os termos semelhantes:
a 2 + ab + b 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 3x 2 + y 2
Resultados de fatoração em:
(x + y) 3 - (x - y) 3 = 2y. (3x 2 + y 2)
Referências
- Baldor, A. 1974. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
- Fundação CK-12. Soma e diferença de cubos. Recuperado de: ck12.org.
- Khan Academy. Fatoração de diferenças de cubos. Recuperado de: es.khanacademy.org.
- Math is Fun Advanced. Diferença de dois cubos. Recuperado de: mathsisfun.com
- UNAM. Fatorando uma diferença de cubos. Recuperado de: dcb.fi-c.unam.mx.