- Quais são os eventos complementares?
- Quais são os eventos?
- O que é um plugin?
- Diagrama de Venn
- Exemplos de eventos complementares
- Exercícios de eventos complementares
- Exercício 1
- Exercício 2
- Exercício 3
- Exercício 4
- Exercício 5
- Referências
Os eventos adicionais são definidos como qualquer grupo de eventos mutuamente exclusivos entre si, onde a união dos mesmos é capaz de cobrir totalmente o espaço amostral ou possíveis casos de experimentação (são exaustivos).
Sua interseção resulta no conjunto vazio (∅). A soma das probabilidades de dois eventos complementares é igual a 1. Em outras palavras, 2 eventos com essa característica cobrem completamente a possibilidade de eventos de um experimento.
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Quais são os eventos complementares?
Um caso genérico muito útil para entender esse tipo de evento é lançar um dado:
Ao definir o espaço amostral, todos os casos possíveis que o experimento oferece são nomeados. Este conjunto é conhecido como universo.
Espaço de amostra (S):
S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
As opções não estipuladas no espaço amostral não fazem parte das possibilidades do experimento. Por exemplo, {surge o número sete} Tem probabilidade zero.
De acordo com o objetivo da experimentação, conjuntos e subconjuntos são definidos se necessário. A notação de conjunto a ser usada também é determinada de acordo com o objetivo ou parâmetro a ser estudado:
R: {Produza um número par} = {2, 4, 6}
B: {Obtenha um número ímpar} = {1, 3, 5}
Neste caso, A e B são eventos complementares. Porque ambos os conjuntos são mutuamente exclusivos (um número par ímpar, por sua vez, não pode ser obtido) e a união desses conjuntos cobre todo o espaço amostral.
Outros subconjuntos possíveis no exemplo acima são:
C: {Produz um número primo} = {2, 3, 5}
D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}
Os conjuntos A, B e C são escritos em notação descritiva e analítica, respectivamente. Para o conjunto D foi utilizada a notação algébrica, e os possíveis resultados correspondentes ao experimento foram descritos na notação analítica.
Observa-se no primeiro exemplo que uma vez que A e B são eventos complementares
R: {Produza um número par} = {2, 4, 6}
B: {Obtenha um número ímpar} = {1, 3, 5}
Os seguintes axiomas são válidos:
- AUB = S; A união de dois eventos complementares é igual ao espaço amostral
- A ∩B = ∅ ; A interseção de dois eventos complementares é igual ao conjunto vazio
- A '= B ᴧ B' = A; Cada subconjunto é igual ao complemento de seu homólogo
- A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Cruze um conjunto com seu complemento igual a vazio
- A 'UA = B' UB = S; Juntar um conjunto com seu complemento é igual ao espaço amostral
Nos estudos estatísticos e probabilísticos, os eventos complementares fazem parte de toda a teoria, sendo muito comuns entre as operações realizadas nesta área.
Para aprender mais sobre eventos complementares, é necessário entender alguns termos que ajudam a defini-los conceitualmente.
Quais são os eventos?
São possibilidades e eventos resultantes da experimentação, capazes de oferecer resultados em cada uma de suas iterações. Os eventos geram os dados a serem registrados como elementos de conjuntos e subconjuntos, as tendências nesses dados são motivo de estudo para probabilidade.
Exemplos de eventos são:
- A moeda apontava cara
- A partida resultou em empate
- O produto químico reagiu em 1,73 segundos
- A velocidade no ponto máximo foi de 30 m / s
- O dado marcou o número 4
O que é um plugin?
Em relação à teoria dos conjuntos. Um Complemento refere-se à porção do espaço amostral que precisa ser adicionada a um conjunto para abranger seu universo. É tudo o que não faz parte do todo.
Uma forma bem conhecida de denotar complemento na teoria dos conjuntos é:
A 'Complemento de A
Diagrama de Venn
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É um esquema gráfico - analítico de conteúdo, amplamente utilizado em operações matemáticas envolvendo conjuntos, subconjuntos e elementos. Cada conjunto é representado por uma letra maiúscula e uma figura oval (esta característica não é obrigatória em seu uso) que contém todos e cada um de seus elementos.
Os eventos adicionais são vistos diretamente nos diagramas de Venn, como seu método gráfico para identificar os somadores correspondentes a cada conjunto.
A simples visualização completa do ambiente de um conjunto, omitindo seu contorno e estrutura interna, permite definir o complemento do conjunto estudado.
Exemplos de eventos complementares
Exemplos de eventos complementares são sucesso e derrota em um evento onde a igualdade não pode existir (um jogo de beisebol).
Variáveis booleanas são eventos complementares: verdadeiro ou falso, igualmente certo ou errado, fechado ou aberto, ligado ou desligado.
Exercícios de eventos complementares
Exercício 1
Seja S o conjunto do universo definido por todos os números naturais menores ou iguais a dez.
S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Os seguintes subconjuntos de S são definidos
H: {Números naturais menores que quatro} = {0, 1, 2, 3}
J: {múltiplos de três} = {3, 6, 9}
K: {múltiplos de cinco} = {5}
L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
N: {números naturais maiores ou iguais a quatro} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Decidir:
Quantos eventos complementares podem ser formados relacionando pares de subconjuntos de S ?
De acordo com a definição de eventos complementares, são identificados os pares que atendem aos requisitos (mutuamente exclusivos e abrangem o espaço amostral na adesão). Os seguintes pares de subconjuntos são eventos complementares :
- H e N
- J e M
- L e K
Exercício 2
Mostre que: (M ∩ K) '= L
{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; A interseção entre os conjuntos produz os elementos comuns entre os dois conjuntos operantes. Desta forma, 5 é o único elemento comum entre M e K.
{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Como L e K são complementares, o terceiro axioma descrito acima é cumprido (cada subconjunto é igual ao complemento de seu homólogo)
Exercício 3
Defina: '
J ∩ H = {3}; De forma homóloga à primeira etapa do exercício anterior.
(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Essas operações são conhecidas como combinadas e geralmente são tratadas com um diagrama de Venn.
' = {0, 1, 2}; O complemento da operação combinada é definido.
Exercício 4
Prove que: { ∩ ∩} '= ∅
A operação composta descrita dentro das chaves se refere às interseções entre as uniões dos eventos complementares. Desta forma procedemos à verificação do primeiro axioma (A união de dois eventos complementares é igual ao espaço amostral).
∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; A união e a interseção de um conjunto consigo mesmo gera o mesmo conjunto.
Então; S '= ∅ Por definição de conjuntos.
Exercício 5
Defina 4 interseções entre subconjuntos, cujos resultados são diferentes do conjunto vazio (∅).
- M ∩ N
{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}
- L ∩ H
{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}
- J ∩ N
{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}
Referências
- O PAPEL DOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS NA CIÊNCIA DA COMPUTADOR E BIOINFORMÁTICA. Irina Arhipova. Universidade de Agricultura da Letônia, Letônia.
- Estatísticas e avaliação de evidências para cientistas forenses. Segunda edição. Colin GG Aitken. Escola de Matemática. Universidade de Edimburgo, Reino Unido
- TEORIA DA PROBABILIDADE BÁSICA, Robert B. Ash. Departamento de Matemática. Universidade de Illinois
- ESTATÍSTICAS Elementares. Décima edição. Mario F. Triola. Boston St.
- Matemática e Engenharia em Ciência da Computação. Christopher J. Van Wyk. Instituto de Ciências e Tecnologia da Computação. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
- Matemática para Ciência da Computação. Eric Lehman. Google Inc.
F Thomson Leighton Departamento de Matemática e Ciência da Computação e Laboratório de IA, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies