FACTORING: MÉTODOS E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

A fatoração é um método pelo qual um polinômio é expresso como fatores de multiplicação, que podem ser números ou letras ou ambos. Para fatorar, os fatores comuns aos termos são agrupados e, dessa forma, o polinômio é decomposto em vários polinômios.

Assim, quando os fatores são multiplicados juntos, o resultado é o polinômio original. O fatoração é um método muito útil quando você tem expressões algébricas, porque pode ser convertido na multiplicação de vários termos simples; por exemplo: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Existem casos em que um polinômio não pode ser fatorado porque não há um fator comum entre seus termos; assim, essas expressões algébricas são divisíveis apenas por si mesmas e por 1. Por exemplo: x + y + z.

Em uma expressão algébrica, o fator comum é o máximo divisor comum dos termos que o compõem.

Métodos de fatoração

Existem vários métodos de fatoração, que são aplicados dependendo do caso. Alguns deles são os seguintes:

Fatoração por fator comum

Nesse método, os fatores comuns são identificados; isto é, aqueles que são repetidos nos termos da expressão. Em seguida, a propriedade distributiva é aplicada, o maior divisor comum é obtido e a fatoração é concluída.

Em outras palavras, o fator comum da expressão é identificado e cada termo é dividido por ele; Os termos resultantes serão multiplicados pelo maior divisor comum para expressar a fatoração.

Exemplo 1

Fator (b ² x) + (b ² y).

Solução

Primeiro você encontra o fator comum de cada termo, que neste caso é b ², e depois divide os termos pelo fator comum da seguinte forma:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

A fatoração é expressa, multiplicando o fator comum pelos termos resultantes:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Exemplo 2

Fator (2a ² b ³) + (3ab ²).

Solução

Nesse caso, temos dois fatores que se repetem em cada termo que são "a" e "b", e que são elevados a uma potência. Para fatorá-los, os dois termos são primeiro decompostos em sua forma longa:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Pode-se ver que o fator "a" é repetido apenas uma vez no segundo termo, e o fator "b" é repetido duas vezes neste; portanto, no primeiro termo apenas 2 permanece, um fator "a" e um fator "b"; enquanto no segundo mandato apenas 3 permanecem.

Portanto, os tempos de repetição de "a" e "b" são escritos e multiplicados pelos fatores que sobram de cada termo, conforme mostrado na imagem:

Fatoração de agrupamento

Como nem em todos os casos o maior divisor comum de um polinômio é claramente expresso, é necessário realizar outras etapas para poder reescrever o polinômio e, assim, o fator.

Uma dessas etapas é agrupar os termos do polinômio em vários grupos e, em seguida, usar o método do fator comum.

Exemplo 1

Fator ac + bc + ad + bd.

Solução

Existem 4 fatores onde dois são comuns: no primeiro termo é «c» e no segundo é «d». Desta forma, os dois termos são agrupados e separados:

(ac + bc) + (ad + bd).

Agora é possível aplicar o método do fator comum, dividindo cada termo pelo seu fator comum e depois multiplicando esse fator comum pelos termos resultantes, assim:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Agora temos um binômio que é comum para os dois termos. Para fatorá-lo, ele é multiplicado pelos fatores restantes; dessa forma você tem que:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Fatoração de inspeção

Este método é usado para fatorar polinômios quadráticos, também chamados de trinômios; ou seja, aqueles que são estruturados como ax ² ± bx + c, onde o valor de "a" é diferente de 1. Este método também é usado quando o trinômio tem a forma x ² ± bx + ce o valor de "a" = 1.

Exemplo 1

Fator x ² + 5x + 6.

Solução

Temos um trinômio quadrático da forma x ² ± bx + c. Para fatorá-lo, você deve primeiro encontrar dois números que, quando multiplicados, dão como resultado o valor de «c» (ou seja, 6) e que sua soma é igual ao coeficiente «b», que é 5. Esses números são 2 e 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Desta forma, a expressão é simplificada assim:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Cada termo é fatorado:

- Para (x ² + 2x), o termo comum é usado: x (x + 2)

- Para (3x + 6) = 3 (x + 2)

Assim, a expressão é:

x (x +2) + 3 (x +2).

Como temos um binômio em comum, para reduzir a expressão, multiplicamos isso pelos termos restantes e temos que:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Exemplo 2

Fator 4a ² + 12a + 9 = 0.

Solução

Temos um trinômio quadrático da forma ax ² ± bx + cy para fatorá-lo, multiplicar a expressão inteira pelo coeficiente de x ²; neste caso, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Agora devemos encontrar dois números que, quando multiplicados um pelo outro, fornecem como resultado o valor de "c" (que é 36) e que quando somados fornecem como resultado o coeficiente do termo "a", que é 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Desta forma, a expressão é reescrita, levando em consideração que 4 ² a ² = 4a _* 4a. Portanto, a propriedade distributiva se aplica a cada termo:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Finalmente, a expressão é dividida pelo coeficiente de a ²; ou seja, 4:

(4º + 6) _* (4º + 6) / 4 = ((4º + 6) / 2) _* ((4º + 6) / 2).

A expressão é a seguinte:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring com produtos notáveis

Há casos em que, para fatorar totalmente os polinômios com os métodos acima, torna-se um processo muito longo.

É por isso que uma expressão pode ser desenvolvida com as fórmulas dos produtos notáveis ​​e assim o processo se torna mais simples. Entre os produtos notáveis ​​mais amplamente usados ​​estão:

- Diferença de dois quadrados: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Quadrado perfeito de uma soma: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Quadrado perfeito da diferença: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Diferença de dois cubos: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

- Soma de dois cubos: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

Exemplo 1

Fator (5 ² - x ²)

Solução

Nesse caso, há uma diferença de dois quadrados; portanto, a notável fórmula do produto se aplica:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

Exemplo 2

Fator 16x ² + 40x + 25 ²

Solução

Nesse caso, você tem um quadrado perfeito de uma soma, porque você pode identificar dois termos ao quadrado, e o termo que resta é o resultado da multiplicação de dois pela raiz quadrada do primeiro termo, pela raiz quadrada do segundo termo.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Para fatorar apenas as raízes quadradas do primeiro e terceiro termos são calculados:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Em seguida, os dois termos resultantes são expressos separados pelo sinal da operação, e todo o polinômio é ao quadrado:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

Exemplo 3

Fator 27a ³ - b ³

Solução

A expressão representa uma subtração em que dois fatores são cubados. Para fatorá-los, é aplicada a fórmula para o produto notável da diferença de cubos, que é:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

Assim, para fatorar, toma-se a raiz cúbica de cada termo do binômio e multiplica-se pelo quadrado do primeiro termo, mais o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o segundo termo ao quadrado.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³) = 3a

³√ (-b ³) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Fatorar com a regra de Ruffini

Este método é usado quando você tem um polinômio de grau maior que dois, a fim de simplificar a expressão para vários polinômios de grau menor.

Exemplo 1

Fator Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Solução

Primeiro, procuramos os números que são divisores de 12, que é o termo independente; Estes são ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 e ± 12.

Em seguida, x é substituído por esses valores, do menor ao maior, e assim é determinado com qual dos valores a divisão será exata; ou seja, o restante deve ser 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

E assim por diante para cada divisor. Nesse caso, os fatores encontrados são para x = -1 ex = 2.

Agora é aplicado o método de Ruffini, segundo o qual os coeficientes da expressão serão divididos pelos fatores encontrados para que a divisão seja exata. Os termos polinomiais são ordenados do expoente mais alto para o mais baixo; no caso de um termo com o próximo grau estar faltando na sequência, um 0 é colocado em seu lugar.

Os coeficientes estão localizados em um esquema, conforme mostrado na imagem a seguir.

O primeiro coeficiente é reduzido e multiplicado pelo divisor. Nesse caso, o primeiro divisor é -1 e o resultado é colocado na próxima coluna. Então, o valor do coeficiente com aquele resultado obtido é adicionado verticalmente e o resultado é colocado abaixo. Desta forma, o processo é repetido até a última coluna.

Em seguida, o mesmo procedimento é repetido novamente, mas com o segundo divisor (que é 2) porque a expressão ainda pode ser simplificada.

Assim, para cada raiz obtida o polinômio terá um termo (x - a), onde "a" é o valor da raiz:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Por outro lado, esses termos devem ser multiplicados pelo restante da regra 1: 1 e -6 de Ruffini, que são fatores que representam um grau. Desta forma, a expressão que se forma é: (x ² + x - 6).

Obter o resultado da fatoração do polinômio pelo método de Ruffini é:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Finalmente, o polinômio de grau 2 que aparece na expressão anterior pode ser reescrito como (x + 3) (x-2). Portanto, a fatoração final é:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Referências

1. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Como ensinar às crianças a fatoração de um polinômio.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Matemática básica com aplicativos.
4. Roelse, PL (1997). Métodos lineares de fatoração polinomial sobre campos finitos: teoria e implementações. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Anéis e Fatoração.