FUNÇÕES TRANSCENDENTES: TIPOS, DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

As funções transcendentais elementares são as funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e as funções hiperbólicas inversas. Ou seja, são aqueles que não podem ser expressos por meio de um polinômio, um quociente de polinômios ou raízes de polinômios.

As funções transcendentes não elementares também são conhecidas como funções especiais e entre elas pode ser nomeada a função de erro. As funções algébricas (polinômios, quocientes de polinômios e raízes de polinômios) juntamente com as funções transcendentais elementares constituem o que em matemática são conhecidos como funções elementares.

Funções transcendentes também são consideradas aquelas que resultam de operações entre funções transcendentes ou entre funções transcendentes e algébricas. Essas operações são: soma e diferença de funções, produto e quociente de funções, bem como a composição de duas ou mais funções.

Definição e propriedades

Função exponencial

É uma função real de variável independente real da forma:

f (x) = a ^ x = a ^x

onde a é um número real positivo fixo (a> 0) chamado de base. O circunflexo ou sobrescrito são usados ​​para denotar a operação de potencialização.

Digamos a = 2, então a função se parece com isto:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Que serão avaliados por vários valores da variável independente x:

Abaixo está um gráfico onde a função exponencial é representada por vários valores da base, incluindo a base e (número de Neper e ≃ 2,72). A base e é tão importante que geralmente falando de uma função exponencial pensamos em e ^ x, que também é denotado exp (x).

Figura 1. Função exponencial a ^ x, para vários valores da base a. (Elaboração própria)

Propriedades da função exponencial

Pela figura 1 pode-se observar que o domínio das funções exponenciais são os números reais (Dom f = R) e a faixa ou caminho são os reais positivos (Ran f = R ⁺).

Por outro lado, independentemente do valor da base a, todas as funções exponenciais passam pelo ponto (0, 1) e pelo ponto (1, a).

Quando a base a> 1, a função está aumentando e quando 0 <a <1 a função está diminuindo.

As curvas de y = a ^ xey = (1 / a) ^ x são simétricas em relação ao eixo Y.

Com exceção do caso a = 1, a função exponencial é injetiva, ou seja, a cada valor da imagem corresponde um e apenas um valor inicial.

Função logarítmica

É uma função real de variável independente real baseada na definição do logaritmo de um número. O logaritmo baseado em um número x é o número y ao qual a base deve ser elevada para obter o argumento x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Ou seja, a função logaritmo baseada em é a função inversa da função exponencial baseada em.

Por exemplo:

log ₂ 1 = 0, pois 2 ^ 0 = 1

Outro caso, log ₂ 4 = 2, porque 2 ^ 2 = 4

O logaritmo da raiz de 2 é log ₂ √2 = ½, porque 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, visto que 2 ^ (- 2) = ¼

Abaixo está um gráfico da função logaritmo em várias bases.

Figura 2. Função exponencial para diferentes valores da base. (Elaboração própria)

Propriedades da função logaritmo

O domínio da função logaritmo y (x) = log a (x) são os números reais positivos R +. A gama de viagem ou são números reais R.

Independentemente da base, a função logaritmo sempre passa pelo ponto (1,0) e o ponto (a, 1) pertence ao gráfico dessa função.

No caso em que a base a é maior que a unidade (a> 1), a função logaritmo está aumentando. Mas se (0 <a <1) então é uma função decrescente.

Funções Seno, Cosseno e Tangente

A função seno atribui um número real e a cada valor de x, onde x representa a medida de um ângulo em radianos. Para obter o valor do Sen (x) de um ângulo, o ângulo é representado no círculo unitário e a projeção desse ângulo no eixo vertical é o seno correspondente a esse ângulo.

O círculo trigonométrico e o seno para vários valores angulares X1, X2, X3 e X4 são mostrados abaixo (na Figura 3).

Figura 3. Círculo trigonométrico e o seno de vários ângulos. (Elaboração própria)

Definido desta forma, o valor máximo que a função Sen (x) pode ter é 1, o que ocorre quando x = π / 2 + 2π n, onde n é um número inteiro (0, ± 1, ± 2,). O valor mínimo que a função Sen (x) pode assumir ocorre quando x = 3π / 2 + 2π n.

A função cosseno y = Cos (x) é definida de forma semelhante, mas a projeção das posições angulares P1, P2, etc. é feita no eixo horizontal do círculo trigonométrico.

Por outro lado, a função y = Tan (x) é o quociente entre a função seno e a função cosseno.

Abaixo está um gráfico das funções transcendentes Sen (x), Cos (x) e Tan (x)

Figura 4. Gráfico das funções transcendentes, seno, cosseno e tangente. (Elaboração própria)

Derivados e integrais

Derivada da função exponencial

A derivada y 'da função exponencial y = a ^ x é a função a ^ x multiplicada pelo logaritmo natural da base a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

No caso particular da base e, a derivada da função exponencial é a própria função exponencial.

Integral da função exponencial

A integral indefinida de a ^ x é a própria função dividida pelo logaritmo natural da base.

No caso particular da base e, a integral da função exponencial é a própria função exponencial.

Tabela de derivadas e integrais de funções transcendentes

Abaixo está uma tabela de resumo das principais funções transcendentes, suas derivadas e integrais indefinidas (antiderivadas):

Tabela de derivadas e integrais indefinidas para algumas funções transcendentes. (Elaboração própria)

Exemplos

Exemplo 1

Encontre a função resultante da composição da função f (x) = x ^ 3 com a função g (x) = cos (x):

(névoa) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Sua derivada e sua integral indefinida são:

Exemplo 2

Encontre a composição da função g com a função f, onde g e f são as funções definidas no exemplo anterior:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

Deve-se notar que a composição de funções não é uma operação comutativa.

A derivada e a integral indefinida para esta função são respectivamente:

A integral foi deixada indicada porque não é possível escrever o resultado como uma combinação de funções elementares exatamente.

Referências

1. Cálculo de uma única variável. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 de novembro 2008
2. O Teorema da Função Implícita: História, Teoria e Aplicações. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 de novembro. 2012
3. Análise multivariável. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 de dezembro. 2010
4. Dinâmica de sistemas: modelagem, simulação e controle de sistemas mecatrônicos. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 de março 2012
5. Cálculo: Matemática e Modelagem. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1º de janeiro 1999
6. wikipedia. Função transcendente. Recuperado de: es.wikipedia.com