- Exemplos de grau de um polinômio
- Tabela 1. Exemplos de polinômios e seus graus
- Procedimento para trabalhar com polinômios
- Ordenar, reduzir e completar um polinômio
- Importância do grau de um polinômio em adição e subtração
- Exercícios resolvidos
- - Exercício resolvido 1
- Solução
- - Exercício resolvido 2
- Solução
- Referências
O grau de um polinômio em uma variável é dado pelo termo que tem o maior expoente, e se o polinômio tem duas ou mais variáveis, então o grau é determinado pela soma dos expoentes de cada termo, a maior soma sendo o grau do polinômio.
Vamos ver como determinar o grau do polinômio de maneira prática.
Figura 1. A famosa equação de Einstein para a energia E é um monômio de grau absoluto 1 para a variável massa, denotada por m, já que a velocidade da luz c é considerada constante. Fonte: Piqsels.
Suponha que o polinômio P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Este polinômio é uma variável, neste caso é a variável x. Este polinômio consiste em vários termos, que são os seguintes:
E agora qual é o expoente? A resposta é 3. Portanto, P (x) é um polinômio de grau 3.
Se o polinômio em questão tiver mais de uma variável, o grau pode ser:
-Absoluto
-Em relação a uma variável
O grau absoluto é encontrado conforme explicado no início: somando os expoentes de cada termo e selecionando o maior.
Em vez disso, o grau do polinômio em relação a uma das variáveis ou letras é o maior valor do expoente que essa letra tem. O ponto ficará mais claro com os exemplos e exercícios resolvidos nas seções seguintes.
Exemplos de grau de um polinômio
Os polinômios podem ser classificados por grau e podem ser de primeiro grau, segundo grau, terceiro grau e assim por diante. Para o exemplo da Figura 1, a energia é um monômio de primeiro grau para a massa.
Também é importante notar que o número de termos que um polinômio possui é igual a grau mais 1. Assim:
- Polinômios de primeiro grau têm 2 termos: a 1 x + a o
- O polinômio de segundo grau tem 3 termos: a 2 x 2 + a 1 x + a o
- Um polinômio de terceiro grau tem 4 termos: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a ou
E assim por diante. O leitor atento terá notado que os polinômios dos exemplos anteriores são escritos de forma decrescente, ou seja, colocando primeiro o termo com maior grau.
A tabela a seguir mostra vários polinômios, tanto de uma como de várias variáveis e seus respectivos graus absolutos:
Tabela 1. Exemplos de polinômios e seus graus
| Polinomial | Grau |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | 1 |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 e 5 + 5x 2 e 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Os dois últimos polinômios têm mais de uma variável. Destes, o termo com maior grau absoluto foi destacado em negrito, para que o leitor possa verificar rapidamente o grau. É importante lembrar que quando a variável não possui um expoente escrito, entende-se que o referido expoente é igual a 1.
Por exemplo, no termo destacado ab 3 x 2, existem três variáveis, a saber: a, be x. Nesse termo, a é elevado a 1, ou seja:
a = a 1
Portanto, ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Como o expoente de b é 3 e o de x é 2, segue-se imediatamente que o grau deste termo é:
1 + 3 + 2 = 6
Y é o grau absoluto do polinômio, uma vez que nenhum outro termo possui um grau superior.
Procedimento para trabalhar com polinômios
Ao trabalhar com polinômios, é importante atentar para o grau dos mesmos, pois primeiro e antes de realizar qualquer operação, é conveniente seguir estes passos, em que o grau fornece informações muito importantes:
-Ordenar o polinômio de preferência em direção decrescente. Assim, o termo com o grau mais alto fica à esquerda e o termo com o grau mais baixo fica à direita.
-Reduzir termos semelhantes, procedimento que consiste em somar algebricamente todos os termos da mesma variável e grau encontrados na expressão.
-Se necessário, os polinômios são preenchidos, inserindo termos cujo coeficiente é 0, caso faltem termos com expoente.
Ordenar, reduzir e completar um polinômio
Dado o polinômio P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, é solicitado ordená-lo em ordem decrescente, reduzir os termos semelhantes, se houver, e completar os termos ausentes. se preciso.
A primeira coisa a procurar é o termo com o maior expoente, que é o grau do polinômio, que acaba sendo:
x 7
Portanto P (x) é de grau 7. Então o polinômio é ordenado, começando com este termo à esquerda:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Agora os termos semelhantes são reduzidos, que são os seguintes: - 2x e 3x por um lado. E 7 e -12 do outro. Para reduzi-los, os coeficientes são adicionados algebricamente e a variável é deixada inalterada (se a variável não aparecer ao lado do coeficiente, lembre-se de que x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Substitua esses resultados em P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
E, finalmente, o polinômio é examinado para ver se algum expoente está faltando e, de fato, um termo cujo expoente é 6 está faltando, portanto, ele é concluído com zeros como este:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Agora observa-se que o polinômio ficou com 8 termos, pois como dito antes, o número de termos é igual a grau + 1.
Importância do grau de um polinômio em adição e subtração
Com polinômios, você pode realizar operações de adição e subtração, nas quais apenas termos semelhantes são adicionados ou subtraídos, que são aqueles com a mesma variável e o mesmo grau. Se não houver termos semelhantes, a adição ou subtração é simplesmente indicada.
Uma vez realizada a adição ou subtração, sendo esta última a soma do oposto, o grau do polinômio resultante é sempre igual ou menor que o grau do polinômio adicionando o grau mais alto.
Exercícios resolvidos
- Exercício resolvido 1
Encontre a seguinte soma e determine seu grau absoluto:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Solução
É um polinômio com duas variáveis, por isso é conveniente reduzir os termos semelhantes:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Ambos os termos são de grau 3 em cada variável. Portanto, o grau absoluto do polinômio é 3.
- Exercício resolvido 2
Expresse a área da figura geométrica plana seguinte como um polinômio (figura 2 à esquerda). Qual é o grau do polinômio resultante?
Figura 2. À esquerda, a figura do exercício resolvido 2 e à direita, a mesma figura decomposta em três áreas cuja expressão é conhecida. Fonte: F. Zapata.
Solução
Por ser uma área, o polinômio resultante deve ser de grau 2 na variável x. Para determinar uma expressão adequada para a área, a figura é decomposta em áreas conhecidas:
A área de um retângulo e um triângulo são respectivamente: base x altura e base x altura / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Nota: a base do triângulo é 3x - x = 2x e sua altura é 5.
Agora as três expressões obtidas são somadas, com isso temos a área da figura em função de x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Referências
- Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Polinômios. Recuperado de: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Grau (polinomial). Recuperado de: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. Mac Graw Hill.