- Quais são as dimensões?
- Espaço tridimensional
- A quarta dimensão e tempo
- As coordenadas de um hipercubo
- Desdobramento de um hipercubo
- Referências
Um hipercubo é um cubo de dimensão n. O caso particular do hipercubo quadridimensional é chamado de tesserato. Um hipercubo ou n-cubo consiste em segmentos retos, todos de igual comprimento que são ortogonais em seus vértices.
Os seres humanos percebem o espaço tridimensional: largura, altura e profundidade, mas não nos é possível visualizar um hipercubo com dimensão maior que 3.
Figura 1. Um cubo 0 é um ponto, se esse ponto se estende em uma direção a uma distância a forma um cubo 1, se esse cubo 1 estende uma distância a na direção ortogonal temos um cubo 2 (de lados xa), se o cubo 2 estende uma distância a na direção ortogonal temos um cubo 3. Fonte: F. Zapata.
No máximo, podemos fazer projeções dele no espaço tridimensional para representá-lo, de forma semelhante a como projetamos um cubo em um plano para representá-lo.
Na dimensão 0, a única figura é o ponto, portanto, um cubo 0 é um ponto. Um cubo 1 é um segmento reto, que é formado pelo movimento de um ponto em uma direção a uma distância a.
Por sua vez, um 2-cubo é um quadrado. Ele é construído deslocando o cubo 1 (o segmento de comprimento a) na direção y, que é ortogonal à direção x, uma distância a.
O cubo 3 é o cubo comum. É construído a partir do quadrado, movendo-o na terceira direção (z), que é ortogonal às direções xey, uma distância a.
Figura 2. Um cubo 4 (tesserato) é a extensão de um cubo 3 na direção ortogonal às três direções espaciais convencionais. Fonte: F. Zapata.
O 4-cubo é o tesserato, que é construído a partir de um 3-cubo movendo-o ortogonalmente, uma distância a, em direção a uma quarta dimensão (ou quarta direção), que não podemos perceber.
Um tesserato tem todos os seus ângulos retos, tem 16 vértices e todas as suas arestas (18 ao todo) têm o mesmo comprimento a.
Se o comprimento das arestas de um n-cubo ou hipercubo de dimensão n é 1, então é um hipercubo unitário, no qual a diagonal mais longa mede √n.
Figura 3. Um n-cubo é obtido a partir de um (n-1) -cubo estendendo-o ortogonalmente na próxima dimensão. Fonte: wikimedia commons.
Quais são as dimensões?
Dimensões são os graus de liberdade ou as direções possíveis nas quais um objeto pode se mover.
Na dimensão 0 não há possibilidade de translação e o único objeto geométrico possível é o ponto.
Uma dimensão no espaço euclidiano é representada por uma linha ou eixo orientado que define essa dimensão, chamada de eixo X. A separação entre dois pontos A e B é a distância euclidiana:
d = √.
Em duas dimensões, o espaço é representado por duas linhas ortogonais entre si, chamadas de eixo X e eixo Y.
A posição de qualquer ponto neste espaço bidimensional é dada por seu par de coordenadas cartesianas (x, y) e a distância entre quaisquer dois pontos A e B será:
d = √
Porque é um espaço onde a geometria de Euclides se realiza.
Espaço tridimensional
O espaço tridimensional é o espaço no qual nos movemos. Possui três direções: largura, altura e profundidade.
Numa sala vazia, os cantos perpendiculares dão essas três direções e a cada uma podemos associar um eixo: X, Y, Z.
Este espaço também é euclidiano e a distância entre os dois pontos A e B é calculada da seguinte forma:
d = √
Os seres humanos não podem perceber mais do que três dimensões espaciais (ou euclidianas).
No entanto, de um ponto de vista estritamente matemático, é possível definir um espaço euclidiano n-dimensional.
Neste espaço, um ponto possui coordenadas: (x1, x2, x3,….., xn) e a distância entre dois pontos é:
d = √.
A quarta dimensão e tempo
Na verdade, na teoria da relatividade, o tempo é tratado como mais uma dimensão e uma coordenada é associada a ela.
Mas é preciso esclarecer que essa coordenada associada ao tempo é um número imaginário. Portanto, a separação de dois pontos ou eventos no espaço-tempo não é euclidiana, mas sim segue a métrica de Lorentz.
Um hipercubo quadridimensional (o tesserato) não vive no espaço-tempo, ele pertence a um hiperespaço euclidiano quadridimensional.
Figura 4. Projeção 3D de um hipercubo quadridimensional em rotação simples em torno de um plano que divide a figura da frente para a esquerda, de trás para a direita e de cima para baixo. Fonte: Wikimedia Commons.
As coordenadas de um hipercubo
As coordenadas dos vértices de um n-cubo centrado na origem são obtidas fazendo todas as permutações possíveis da seguinte expressão:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Onde a é o comprimento da borda.
-O volume de um n-cubo de aresta a é: (a / 2) n (2 n) = a n.
-A diagonal mais longa é a distância entre vértices opostos.
-A seguir estão vértices opostos em um quadrado: (-1, -1) e (+1, +1).
-E em um cubo: (-1, -1, -1) e (+1, +1, +1).
-A diagonal mais longa de um n-cubo mede:
d = √ = √ = 2√n
Nesse caso, o lado foi considerado a = 2. Para um n-cubo de lado a qualquer será:
d = a√n.
-Um tesseract tem cada um de seus 16 vértices conectados a quatro arestas. A figura a seguir mostra como os vértices são conectados em um tesseract.
Figura 5. Os 16 vértices de um hipercubo quadridimensional e como eles estão conectados são mostrados. Fonte: Wikimedia Commons.
Desdobramento de um hipercubo
Uma figura geométrica regular, por exemplo um poliedro, pode ser desdobrada em várias figuras de menor dimensionalidade.
No caso de um cubo 2 (um quadrado), ele pode ser dividido em quatro segmentos, ou seja, quatro cubos 1.
Da mesma forma, um cubo de 3 pode ser desdobrado em seis cubos de 2.
Figura 6. Um n-cubo pode ser desdobrado em vários (n-1) -cubos. Fonte: Wikimedia Commons.
Um 4 cubos (tesseract) pode ser desdobrado em oito 3 cubos.
A animação a seguir mostra o desdobramento de um tesserato.
Figura 7. Um hipercubo quadridimensional pode ser desdobrado em oito cubos tridimensionais. Fonte: Wikimedia Commons.
Figura 8. Projeção tridimensional de um hipercubo quadridimensional executando uma rotação dupla em torno de dois planos ortogonais. Fonte: Wikimedia Commons.
Referências
- Cultura científica. Hipercubo, visualizando a quarta dimensão. Recuperado de: culturacientifica.com
- Epsilons. Hipercubo ou tesserato quadridimensional. Recuperado de: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Um método para obter um tesseract a partir do desenvolvimento de um hipercubo (4D). Recuperado de: researchgate.net
- Wikibooks. Matemática, poliedros, hipercubos. Recuperado de: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hipercubo. Recuperado de: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Recuperado de: en.wikipedia.com