- Exemplos de linhas perpendiculares
- Mais exemplos de linhas perpendiculares
- Exercícios
- - Exercício 1
- Solução
- - Exercício 2
- Solução
- Referências
Uma linha perpendicular é aquela que forma um ângulo de 90º com respeito a outra linha, curva ou superfície. Observe que quando duas retas são perpendiculares e se encontram no mesmo plano, quando se cruzam, formam quatro ângulos idênticos, cada um 90º.
Se um dos ângulos não for 90º, as linhas são ditas oblíquas. As linhas perpendiculares são comuns em design, arquitetura e construção, por exemplo, a rede de tubos na imagem a seguir.
Figura 1. Rede de tubos perpendiculares e numerosas linhas perpendiculares. Quantos ângulos de 90º podem ser contados nesta imagem? Fonte: Piqsels.
A orientação das linhas perpendiculares pode ser diversa, como as mostradas abaixo:
Figura 2. Linhas perpendiculares no plano. Fonte: F. Zapata.
Independentemente da posição, as linhas perpendiculares entre si são reconhecidas identificando o ângulo entre elas como 90 °, com a ajuda do transferidor.
Observe que, ao contrário das linhas paralelas no plano, que nunca se cruzam, as linhas perpendiculares sempre o fazem em um ponto P, denominado base de uma das linhas na outra. Portanto, duas linhas perpendiculares também são secantes.
Qualquer linha tem infinitas perpendiculares a ela, pois apenas movendo o segmento AB para a esquerda ou direita no segmento CD, teremos novas perpendiculares com outro pé.
No entanto, a perpendicular que passa apenas pelo ponto médio de um segmento é chamada de bissetriz desse segmento.
Exemplos de linhas perpendiculares
Linhas perpendiculares são comuns na paisagem urbana. Na imagem a seguir (figura 3), apenas algumas das muitas linhas perpendiculares que podem ser vistas na fachada simples deste edifício e seus elementos como portas, dutos, degraus e outros foram destacados:
Figura 3. Existe um grande número de linhas perpendiculares na fachada de um edifício comum como este. Fonte: Richard Kang via Flickr.
O bom é que três linhas perpendiculares entre si nos ajudam a estabelecer a localização de pontos e objetos no espaço. Eles são os eixos de coordenadas identificados como eixo x, eixo y e eixo z, claramente visíveis no canto de uma sala retangular como a que está abaixo:
Figura 4. O sistema de eixos cartesianos consiste em três linhas perpendiculares entre si, cada uma com uma direção preferencial no espaço. Créditos da imagem à esquerda: treybunn 2 via Flickr. Imagem certa; Needpix.
No panorama da cidade, à direita, também se nota a perpendicularidade entre o arranha-céu e o solo. O primeiro, diríamos que está ao longo do eixo z, enquanto o solo é um plano, que neste caso é o plano xy.
Se o solo constitui o plano xy, o arranha-céu também é perpendicular a qualquer avenida ou rua, o que garante sua estabilidade, já que uma estrutura inclinada é instável.
E nas ruas, onde quer que haja esquinas retangulares, existem linhas perpendiculares. Muitas avenidas e ruas têm traçado perpendicular, sempre que o terreno e as características geográficas o permitem.
Para expressar a perpendicularidade entre linhas, segmentos ou vetores, o símbolo ⊥ é usado. Por exemplo, se a linha L 1 é perpendicular à linha L 2, escrevemos:
L 1 ⊥ L 2
Mais exemplos de linhas perpendiculares
- No desenho as linhas perpendiculares estão muito presentes, já que muitos objetos comuns são baseados em quadrados e retângulos. Esses quadriláteros são caracterizados por apresentarem ângulos internos de 90º, pois seus lados são paralelos dois a dois:
Figura 5. Quadrados e retângulos fazem parte de muitos designs, como esta caixa de papelão simples para armazenar mercadorias. Fonte: F. Zapata.
- Os campos em que se praticam diferentes esportes são demarcados por numerosos quadrados e retângulos. Estes, por sua vez, contêm linhas perpendiculares.
- Dois dos segmentos que formam um triângulo retângulo são perpendiculares entre si. Eles são chamados de pernas, enquanto a linha restante é chamada de hipotenusa.
- As linhas do vetor campo elétrico são perpendiculares à superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático.
- Para um condutor carregado, as linhas e superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às do campo elétrico.
- Em sistemas de tubulação ou conduíte usados para transportar diferentes tipos de fluidos, como o gás que aparece na figura 1, é comum ter cotovelos em ângulo reto. Portanto, formam linhas perpendiculares, como é o caso de uma sala de caldeiras:
Figura 6. Tubos em uma sala de caldeira. Fonte: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
Exercícios
- Exercício 1
Desenhe duas linhas perpendiculares usando uma régua e um compasso.
Solução
É muito simples de fazer, seguindo estas etapas:
-A primeira linha é desenhada, chamada AB (preta).
-Acima (ou abaixo se preferir) marque o ponto P P, através do qual passará a perpendicular. Se P está logo acima (ou abaixo) do meio de AB, essa perpendicular é a bissetriz do segmento AB.
-Com a bússola centrada em P, desenhe um círculo que corta AB em dois pontos, chamados A 'e B' (vermelho).
-A bússola é aberta em A'P, está centrada em A 'e é desenhada uma circunferência que passa por P (verde).
-Repita o passo anterior, mas agora abrindo a medida do comprimento do segmento B'P (verde). Ambos os arcos de circunferência se cruzam no ponto Q abaixo de P e, claro, no último.
-Os pontos P e Q são unidos com a régua e a linha perpendicular (azul) está pronta.
-Finalmente, todas as construções auxiliares devem ser cuidadosamente apagadas, deixando apenas as perpendiculares.
Figura 6. Traçado de linhas perpendiculares com régua e compasso. Fonte: Wikimedia Commons.
- Exercício 2
Duas linhas L 1 e L 2 são perpendiculares se suas respectivas inclinações m 1 e m 2 atenderem a esta relação:
m 1 = -1 / m 2
Dada a reta y = 5x - 2, encontre uma reta perpendicular a ela e que passe pelo ponto (-1, 3).
Solução
-Primeiro é a inclinação da reta perpendicular m ⊥, conforme indicado na declaração. A inclinação da linha original é m = 5, o coeficiente que acompanha "x". Assim:
m ⊥ = -1/5
-Então a equação da reta perpendicular y ⊥ é construída, substituindo o valor anteriormente encontrado:
y ⊥ = -1 / 5x + b
-Então é determinado o valor de b, com o auxílio do ponto dado pelo enunciado, o (-1,3), já que a reta perpendicular deve passar por ele:
y = 3
x = -1
Substituindo:
3 = -1/5 (-1) + b
Resolva o valor de b:
b = 3- (1/5) = 14/5
-Finalmente, a equação final é construída:
e ⊥ = -1 / 5x + 14/5
Referências
- Baldor, A. 2004. Geometria plana e espacial. Publicações culturais.
- Clemens, S. 2001. Geometria com aplicações e resolução de problemas. Addison Wesley.
- Matemática é Fun. Linhas perpendiculares. Recuperado de: mathisfun.com.
- Monterey Institute. Linhas perpendiculares. Recuperado de: montereyinstitute.org.
- Wikipedia. Linhas perpendiculares. Recuperado de: es.wikipedia.org.