LEIS DOS EXPOENTES (COM EXEMPLOS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS) - MATEMÁTICAS - 2025

As leis dos expoentes são aquelas que se aplicam àquele número que indica quantas vezes um número base deve ser multiplicado por si mesmo. Os expoentes também são conhecidos como poderes. Empowerment é uma operação matemática formada por uma base (a), o expoente (m) e a potência (b), que é o resultado da operação.

Os expoentes são geralmente usados ​​quando são usadas quantidades muito grandes, porque eles nada mais são do que abreviações que representam a multiplicação do mesmo número uma certa quantidade de vezes. Os expoentes podem ser positivos e negativos.

Explicação das leis dos expoentes

Conforme afirmado anteriormente, os expoentes são uma forma abreviada que representa a multiplicação de números por eles mesmos várias vezes, em que o expoente se relaciona apenas com o número à esquerda. Por exemplo:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

Nesse caso, o número 2 é a base da potência, que será multiplicada 3 vezes conforme indicado pelo expoente, localizado no canto superior direito da base. Existem diferentes maneiras de ler a expressão: 2 elevado a 3 ou também 2 elevado ao cubo.

Os expoentes também indicam o número de vezes que podem ser divididos, e para diferenciar esta operação da multiplicação, o expoente tem o sinal menos (-) na frente dele (é negativo), o que significa que o expoente está no denominador de um fração. Por exemplo:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Isso não deve ser confundido com o caso em que a base é negativa, pois dependerá se o expoente é ímpar ou par para determinar se a potência será positiva ou negativa. Então você tem que:

- Se o expoente for par, a potência será positiva. Por exemplo:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Se o expoente for ímpar, a potência será negativa. Por exemplo:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Existe um caso especial em que se o expoente é igual a 0, a potência é igual a 1. Também existe a possibilidade de que a base seja 0; nesse caso, dependendo do expoente, a potência será indeterminada ou não.

Para realizar operações matemáticas com expoentes, é necessário seguir várias regras ou normas que tornam mais fácil encontrar a solução para essas operações.

Primeira lei: potência do expoente igual a 1

Quando o expoente for 1, o resultado será o mesmo valor da base: a ¹ = a.

Exemplos

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Segunda lei: potência do expoente igual a 0

Quando o expoente for 0, se a base for diferente de zero, o resultado será: a ⁰ = 1.

Exemplos

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Terceira lei: expoente negativo

Como o expoente é negativo, o resultado será uma fração, onde a potência será o denominador. Por exemplo, se m for positivo, então a ^-m = 1 / a ^m.

Exemplos

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Quarta lei: multiplicação de poderes com base igual

Para multiplicar as potências onde as bases são iguais e diferentes de 0, a base permanece e os expoentes são adicionados: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}.

Exemplos

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Quinta lei: divisão de poderes com base igual

Para dividir potências em que as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são subtraídos da seguinte forma: a ^m / a ⁿ = a ^m-n.

Exemplos

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9, ¹.

- 6 ^15/6 de ^outubro = 6 ^(15-10) = 6 ⁵.

- 49 de ^dezembro / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶.

Sexta lei: multiplicação de poderes com base diferente

Essa lei tem o oposto do que é expresso na quarta; isto é, se você tiver bases diferentes, mas com os mesmos expoentes, as bases são multiplicadas e o expoente é mantido: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

Exemplos

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

Outra forma de representar essa lei é quando uma multiplicação é elevada a uma potência. Assim, o expoente pertencerá a cada um dos termos: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m.

Exemplos

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶.

Sétima lei: divisão de poderes com base diferente

Se você tiver bases diferentes, mas com os mesmos expoentes, divida as bases e mantenha o expoente: a ^m / b ^m = (a / b) ^m.

Exemplos

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴.

Da mesma forma, quando uma divisão é elevada a uma potência, o expoente pertencerá a cada um dos termos: (a / b) ^m = a ^m / b ^m.

Exemplos

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

É o caso em que o expoente é negativo. Então, para ser positivo, o valor do numerador é invertido com o do denominador, da seguinte forma:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴.

Oitava lei: poder de um poder

Quando você tem uma potência que é elevada a outra potência -ou seja, dois expoentes ao mesmo tempo-, a base é mantida e os expoentes são multiplicados: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n}.

Exemplos

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (13 ⁹) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

Nona lei: expoente fracionário

Se a potência tiver uma fração como expoente, resolve-se transformando-a em uma enésima raiz, onde o numerador permanece como expoente e o denominador representa o índice da raiz:

Exemplo

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Calcule as operações entre potências que têm bases diferentes:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

Solução

Aplicando as regras dos expoentes, as bases são multiplicadas no numerador e o expoente é mantido, assim:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Agora, como temos as mesmas bases, mas com expoentes diferentes, a base é mantida e os expoentes são subtraídos:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Exercício 2

Calcule as operações entre potências elevadas a outra potência:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

Solução

Aplicando as leis, você deve:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Referências

1. Aponte, G. (1998). Fundamentos de matemática básica. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matemática aplicada ao cotidiano.
3. Jiménez, JR (2009). Matemática 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Álgebra e trigonometria.
5. Rees, PK (1986). Reverte.