MORGAN LAWS - MATEMÁTICAS - 2024

Os olhos de Morgan são regras de inferência usadas na lógica proposicional, que estabelecem qual é o resultado de negar uma disjunção e uma conjunção de proposições ou variáveis ​​proposicionais. Essas leis foram definidas pelo matemático Augustus De Morgan.

As leis de Morgan representam uma ferramenta muito útil para demonstrar a validade do raciocínio matemático. Posteriormente, foram generalizados dentro do conceito de conjuntos do matemático George Boole.

Essa generalização feita por Boole é completamente equivalente às leis de Morgan iniciais, mas é desenvolvida especificamente para conjuntos, e não para proposições. Essa generalização também é conhecida como leis de Morgan.

Revisão da lógica proposicional

Antes de examinar o que são especificamente as leis de Morgan e como são usadas, é útil lembrar algumas noções básicas da lógica proposicional. (Para obter mais detalhes, consulte o artigo sobre lógica proposicional).

No reino da lógica matemática (ou proposicional), uma inferência é uma conclusão emitida a partir de um conjunto de premissas ou hipóteses. Essa conclusão, juntamente com as premissas mencionadas, dá origem ao que se conhece como raciocínio matemático.

Esse raciocínio deve ser demonstrável ou negado; isto é, nem todas as inferências ou conclusões no raciocínio matemático são válidas.

Falácia

Uma falsa inferência feita a partir de certas hipóteses que são consideradas verdadeiras é conhecida como falácia. As falácias têm a peculiaridade de serem argumentos que parecem corretos, mas matematicamente não são.

A lógica proposicional é precisamente responsável por desenvolver e fornecer métodos por meio dos quais, sem qualquer ambigüidade, um raciocínio matemático pode ser validado ou refutado; isto é, inferir uma conclusão válida das premissas. Esses métodos são conhecidos como regras de inferência, das quais fazem parte as leis de Morgan.

Proposições

Os elementos essenciais da lógica proposicional são proposições. As proposições são declarações que podem ser consideradas válidas ou não, mas não podem ser verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Não deve haver ambigüidade neste assunto.

Assim como os números podem ser combinados por meio de operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, as proposições podem ser operadas por meio dos conhecidos conectivos lógicos (ou conectores): negação (¬, "não"), disjunção (V, “Ou”), conjunção (Ʌ, “e”), condicional (→, “se…, então…”) e bicondicional (↔, “se, e somente se”).

Para trabalhar de forma mais geral, em vez de considerar proposições específicas, as variáveis ​​proposicionais que representam quaisquer proposições são consideradas e geralmente são denotadas com letras minúsculas p, q, r, s, etc.

Uma fórmula proposicional é uma combinação de variáveis ​​proposicionais por meio de alguns dos conectivos lógicos. Em outras palavras, é uma composição de variáveis ​​proposicionais. Eles geralmente são denotados com letras gregas.

Diz-se que uma fórmula proposicional implica logicamente outra, quando a última é verdadeira cada vez que a primeira é verdadeira. Isso é denotado por:

Quando a implicação lógica entre duas fórmulas proposicionais é recíproca - isto é, quando a implicação anterior também é válida no sentido oposto - as fórmulas são ditas logicamente equivalentes, e é denotado por

A equivalência lógica é um tipo de igualdade entre fórmulas proposicionais e permite que uma seja substituída pela outra quando necessário.

Leis de Morgan

As leis de Morgan consistem em duas equivalências lógicas entre duas formas proposicionais, a saber:

Essas leis permitem separar a negação de uma disjunção ou conjunção, como negações das variáveis ​​envolvidas.

O primeiro pode ser lido da seguinte forma: a negação de uma disjunção é igual à conjunção das negações. E o segundo é assim: a negação de uma conjunção é a disjunção das negações.

Em outras palavras, negar a disjunção de duas variáveis ​​proposicionais é equivalente à conjunção das negações de ambas as variáveis. Da mesma forma, negar a conjunção de duas variáveis ​​proposicionais é equivalente à disjunção das negações de ambas as variáveis.

Como mencionado anteriormente, substituir essa equivalência lógica ajuda a provar resultados importantes, junto com as outras regras de inferência existentes. Com eles, você pode simplificar muitas fórmulas proposicionais, de modo que sejam mais úteis para trabalhar.

A seguir está um exemplo de uma prova matemática usando regras de inferência, incluindo as leis de Morgan. Especificamente, é mostrado que a fórmula:

É equivalente a:

O último é mais simples de entender e desenvolver.

Demonstração

Vale ressaltar que a validade das leis de Morgan pode ser demonstrada matematicamente. Uma maneira é comparando suas tabelas de verdade.

Jogos

As mesmas regras de inferência e as noções de lógica aplicadas a proposições também podem ser desenvolvidas considerando conjuntos. É o que se conhece como álgebra booleana, em homenagem ao matemático George Boole.

Para diferenciar os casos, é necessário mudar a notação e transferir para conjuntos, todas as noções já vistas de lógica proposicional.

Um conjunto é uma coleção de objetos. Os conjuntos são denotados por letras maiúsculas A, B, C, X,… e os elementos de um conjunto são denotados por letras minúsculas a, b, c, x, etc. Quando um elemento a pertence a um conjunto X, ele é denotado por:

Quando não pertence a X, a notação é:

A maneira de representar conjuntos é colocando seus elementos entre colchetes. Por exemplo, o conjunto de números naturais é representado por:

Os conjuntos também podem ser representados sem escrever uma lista explícita de seus elementos. Eles podem ser expressos na forma {:}. Os dois pontos são lidos "tal que". À esquerda dos dois pontos é colocada uma variável que representa os elementos do conjunto, e à direita é colocada a propriedade ou condição que eles satisfazem. Isto é:

Por exemplo, o conjunto de números inteiros maiores que -4 pode ser expresso como:

Ou de forma equivalente, e mais abreviado, como:

Da mesma forma, as seguintes expressões representam os conjuntos de números ímpares e pares, respectivamente:

União, interseção e complementos de conjuntos

A seguir, veremos os análogos dos conectivos lógicos no caso de conjuntos, que fazem parte das operações básicas entre conjuntos.

União e intersecção

A união e a interseção dos conjuntos são definidas, respectivamente, da seguinte forma:

Por exemplo, considere os conjuntos:

Então, você tem que:

Complemento

O complemento de um conjunto é formado pelos elementos que não pertencem ao referido conjunto (do mesmo tipo que o original representa). O complemento de um conjunto A é denotado por:

Por exemplo, dentro dos números naturais, o complemento do conjunto de números pares é o dos números ímpares e vice-versa.

Para determinar o complemento de um conjunto, o conjunto universal ou principal dos elementos em consideração deve estar claro desde o início. Por exemplo, não é a mesma coisa considerar o complemento de um conjunto sobre números naturais ou sobre números racionais.

A tabela a seguir mostra a relação ou analogia que existe entre as operações em conjuntos previamente definidos e os conectivos da lógica proposicional:

Leis de Morgan para jogos

Finalmente, as leis de Morgan sobre conjuntos são:

Em palavras: o complemento de um sindicato é a intersecção dos complementos, e o complemento de uma intersecção é a união dos complementos.

Uma prova matemática da primeira igualdade seria a seguinte:

A prova do segundo é análoga.

Referências

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