MÉTODO DE EULER: PARA QUE SERVE, PROCEDIMENTO E EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

O método de Euler é o procedimento mais básico e simples usado para encontrar soluções numéricas aproximadas a uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, desde que a condição inicial seja conhecida.

Uma equação diferencial ordinária (ODE) é a equação que relaciona uma função desconhecida de uma única variável independente com suas derivadas.

Aproximações sucessivas pelo método de Euler. Fonte: Oleg Alexandrov

Se a maior derivada que aparece na equação é de grau um, então é uma equação diferencial ordinária de primeiro grau.

A maneira mais geral de escrever uma equação de primeiro grau é:

x = x ₀

y = y ₀

Qual é o método de Euler?

A ideia do método de Euler é encontrar uma solução numérica para a equação diferencial no intervalo entre X ₀ e X _f.

Primeiro, o intervalo é discretizado em n + 1 pontos:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ …, x _n

Que são obtidos assim:

x _i = x ₀ + ih

Onde h é a largura ou passo dos subintervalos:

Com a condição inicial, então também é possível saber a derivada no início:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

Esta derivada representa a inclinação da linha tangente à curva da função y (x) precisamente no ponto:

Ao = (x _o, y _o)

Então, uma previsão aproximada do valor da função y (x) é feita no seguinte ponto:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

O próximo ponto aproximado da solução foi então obtido, o que corresponderia a:

A ₁ = (x ₁, y ₁)

O procedimento é repetido para obter os pontos sucessivos

A ₂, A ₃…, x _n

Na figura mostrada no início, a curva azul representa a solução exata da equação diferencial, e a vermelha representa os pontos aproximados sucessivos obtidos pelo procedimento de Euler.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

I) Seja a equação diferencial:

Com a condição inicial x = a = 0; e _a = 1

Usando o método de Euler, obtenha uma solução aproximada de y na coordenada X = b = 0,5, subdividindo o intervalo em n = 5 partes.

Solução

Os resultados numéricos são resumidos da seguinte forma:

Daí se conclui que a solução Y para o valor 0,5 é 1,4851.

Nota: Smath Studio, um programa gratuito para uso gratuito, foi usado para realizar os cálculos.

Exercício 2

II) Continuando com a equação diferencial do exercício I), encontre a solução exata e compare-a com o resultado obtido pelo método de Euler. Encontre o erro ou a diferença entre o resultado exato e o aproximado.

Solução

A solução exata não é muito difícil de encontrar. A derivada da função sin (x) é conhecida como a função cos (x). Portanto, a solução y (x) será:

y (x) = sin x + C

Para que a condição inicial seja satisfeita e (0) = 1, a constante C deve ser igual a 1. O resultado exato é então comparado com o aproximado:

Conclui-se que, no intervalo calculado, a aproximação possui três algarismos significativos de precisão.

Exercício 3

III) Considere a equação diferencial e suas condições iniciais dadas a seguir:

y '(x) = - y ²

Com a condição inicial x ₀ = 0; e ₀ = 1

Use o método de Euler para encontrar valores aproximados da solução y (x) no intervalo x =. Use a etapa h = 0,1.

Solução

O método de Euler é muito adequado para uso com planilhas. Neste caso, usaremos a planilha geogebra, um programa gratuito e de código aberto.

A planilha da figura mostra três colunas (A, B, C) a primeira é a variável x, a segunda coluna representa a variável y e a terceira coluna é a derivada y '.

A linha 2 contém os valores iniciais de X, Y, Y '.

O valor da etapa 0,1 foi colocado na célula de posição absoluta ($ D $ 4).

O valor inicial de y0 está na célula B2 e y1 está na célula B3. Para calcular y _1, a fórmula é usada:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Esta fórmula de planilha seria o Número B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Da mesma forma, y2 estaria na célula B4 e sua fórmula é mostrada na figura a seguir:

A figura também mostra o gráfico da solução exata e os pontos A, B,…, P da solução aproximada pelo método de Euler.

Dinâmica newtoniana e método de Euler

A dinâmica clássica foi desenvolvida por Isaac Newton (1643 - 1727). A motivação original de Leonard Euler (1707 - 1783) para desenvolver seu método, foi justamente resolver a equação da segunda lei de Newton em várias situações físicas.

A segunda lei de Newton é geralmente expressa como uma equação diferencial de segundo grau:

Onde x representa a posição de um objeto no tempo t. O referido objeto tem massa me está sujeito a uma força F. A função f está relacionada à força e massa da seguinte forma:

Para aplicar o método de Euler, os valores iniciais de tempo t, velocidade ve posição x são necessários.

A tabela a seguir explica como a partir dos valores iniciais t1, v1, x1 uma aproximação da velocidade v2 e da posição x2 pode ser obtida, no instante t2 = t1 + Δt, onde Δt representa um pequeno aumento e corresponde à etapa no método de Euler.

Exercício 4

IV) Um dos problemas fundamentais da mecânica é o de um bloco de massa M amarrado a uma mola (ou mola) de constante elástica K.

A segunda lei de Newton para este problema seria assim:

Neste exemplo, para simplificar, tomaremos M = 1 e K = 1. Encontre soluções aproximadas para a posição xea velocidade v pelo método de Euler no intervalo de tempo, subdividindo o intervalo em 12 partes.

Considere 0 como o instante inicial, a velocidade inicial 0 e a posição inicial 1.

Solução

Os resultados numéricos são mostrados na seguinte tabela:

Os gráficos de posição e velocidade entre os tempos 0 e 1,44 também são exibidos.

Exercícios propostos para casa

Exercício 1

Use uma planilha para determinar uma solução aproximada usando o método de Euler para a equação diferencial:

y '= - Exp (-y) com as condições iniciais x = 0, y = -1 no intervalo x =

Comece com um passo de 0,1. Trace o resultado.

Exercício 2

Usando uma planilha, encontre soluções numéricas para a seguinte equação quadrática, onde y é uma função da variável independente t.

y '' = - 1 / y² com a condição inicial t = 0; e (0) = 0,5; y '(0) = 0

Encontre a solução no intervalo usando uma etapa de 0,05.

Trace o resultado: y vs t; y 'vs t

Referências

1. Método Eurler retirado de wikipedia.org
2. Solucionador de Euler. Retirado de en.smath.com