MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA DADOS AGRUPADOS (EXEMPLOS) - MATEMÁTICAS - 2025

As medidas de tendência central dos dados agrupados são utilizadas nas estatísticas para descrever determinados comportamentos de um conjunto de dados fornecidos, tais como o valor de que se aproximam, qual a média dos dados recolhidos, entre outros.

Ao pegar uma grande quantidade de dados, é útil agrupá-los para ordená-los melhor e assim poder calcular certas medidas de tendência central.

Entre as medidas de tendência central mais utilizadas estão a média aritmética, a mediana e a moda. Esses números revelam certas qualidades sobre os dados coletados em um determinado experimento.

Para usar essas medidas, primeiro você precisa saber como agrupar um conjunto de dados.

Dados agrupados

Para agrupar dados, você deve primeiro calcular o intervalo dos dados, que é obtido subtraindo o valor mais alto menos o valor mais baixo dos dados.

Em seguida, um número "k" é escolhido, que é o número de classes nas quais queremos agrupar os dados.

O intervalo é dividido por “k” para obter a amplitude das classes a serem agrupadas. Este número é C = R / k.

Por fim, inicia-se o agrupamento, para o qual é escolhido um número menor que o menor valor dos dados obtidos.

Este número será o limite inferior da primeira aula. A isso se acrescenta C. O valor obtido será o limite superior da primeira aula.

Então, C é adicionado a este valor e o limite superior da segunda classe é obtido. Dessa forma, procedemos para obter o limite superior da última aula.

Depois que os dados são agrupados, a média, a mediana e a moda podem ser calculadas.

Para ilustrar como a média aritmética, a mediana e a moda são calculadas, continuaremos com um exemplo.

Exemplo

Portanto, ao agrupar os dados, será obtida uma tabela como a seguinte:

As 3 principais medidas de tendência central

Agora iremos calcular a média aritmética, a mediana e a moda. O exemplo acima será usado para ilustrar este procedimento.

1- Média aritmética

A média aritmética consiste em multiplicar cada frequência pela média do intervalo. Em seguida, todos esses resultados são somados e, finalmente, são divididos pelos dados totais.

Usando o exemplo anterior, seria obtido que a média aritmética é igual a:

(4 * 2 + 4 * 4 + 6 * 6 + 4 * 8) / 18 = (8 + 16 + 36 + 32) / 18 = 5,11111

Isso indica que o valor médio dos dados da tabela é 5,111111.

2- Médio

Para calcular a mediana de um conjunto de dados, primeiro ordenamos todos os dados do menor para o maior. Dois casos podem ocorrer:

- Se o número de dados for ímpar, a mediana são os dados que estão bem no centro.

- Se o número de dados for par, a mediana é a média dos dois dados que estão no centro.

Quando se trata de dados agrupados, o cálculo da mediana é feito da seguinte forma:

- N / 2 é calculado, onde N são os dados totais.

- O primeiro intervalo em que a frequência acumulada (soma das frequências) é maior que N / 2 é pesquisado, e é selecionado o limite inferior deste intervalo, denominado Li.

A mediana é dada pela seguinte fórmula:

Me = Li + (Ls-Li) * (N / 2 - Frequência acumulada antes de Li) / frequência de [Li, Ls)

Ls é o limite superior do intervalo mencionado acima.

Se a tabela de dados anterior for usada, N / 2 = 18/2 = 9. As frequências acumuladas são 4, 8, 14 e 18 (uma para cada linha da tabela).

Portanto, o terceiro intervalo deve ser selecionado, uma vez que a frequência cumulativa é maior que N / 2 = 9.

Portanto, Li = 5 e Ls = 7. Aplicando a fórmula descrita acima, você deve:

Me = 5 + (7-5) * (9-8) / 6 = 5 + 2 * 1/6 = 5 + 1/3 = 16/3 ≈ 5,3333.

3- Moda

O modo é o valor que possui a maior frequência entre todos os dados agrupados; ou seja, é o valor que se repete mais vezes no conjunto de dados inicial.

Quando você tem uma grande quantidade de dados, a seguinte fórmula é usada para calcular o modo dos dados agrupados:

Mo = Li + (Ls-Li) * (Frequência de Li - Frequência de L (i-1)) / ((Frequência de Li - Frequência de L (i-1)) + (Frequência de Li - Frequência de L (i + 1)))

O intervalo [Li, Ls) é o intervalo em que a frequência mais alta é encontrada. Para o exemplo feito neste artigo, o modo é dado por:

Mo = 5 + (7-5) * (6-4) / ((6-4) + (6-4)) = 5 + 2 * 2/4 = 5 + 1 = 6.

Outra fórmula usada para obter um valor aproximado para a moda é a seguinte:

Mo = Li + (Ls-Li) * (frequência L (i + 1)) / (frequência L (i-1) + frequência L (i + 1)).

Com esta fórmula, as contas são as seguintes:

Mo = 5 + (7-5) * 4 / (4 + 4) = 5 + 2 * 4/8 = 5 + 1 = 6.

Referências

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Preparando o cenário para a probabilidade clássica e suas aplicações. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Introdução à Teoria da Probabilidade. Universidade Nacional da Colômbia.
3. Daston, L. (1995). Probabilidade Clássica no Iluminismo. Princeton University Press.
4. Larson, HJ (1978). Introdução à teoria da probabilidade e inferência estatística. Editorial Limusa.
5. Martel, PJ, & Vegas, FJ (1996). Probabilidade e estatística matemática: aplicações na prática clínica e na gestão da saúde. Edições Díaz de Santos.
6. Vázquez, AL, & Ortiz, FJ (2005). Métodos estatísticos para medir, descrever e controlar a variabilidade. Ed. University of Cantabria.
7. Vázquez, SG (2009). Manual de Matemática para acesso à Universidade. Editorial Centro de Estudios Ramon Areces SA.