NÚMEROS IRRACIONAIS: HISTÓRIA, PROPRIEDADES, CLASSIFICAÇÃO, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

Os números irracionais são aqueles cuja expressão possui dígitos decimais infinitos sem um padrão de repetição, portanto, não podem ser obtidos a partir da razão entre dois inteiros quaisquer.

Entre os números irracionais mais conhecidos estão:

Figura 1. De cima para baixo os seguintes números irracionais: pi, número de Euler, proporção áurea e duas raízes quadradas. Fonte: Pixabay.

Entre eles, sem dúvida π (pi) é o mais familiar, mas existem muitos mais. Todos eles pertencem ao conjunto dos números reais, que é o conjunto numérico que agrupa os números racionais e irracionais.

As reticências na figura 1 indicam que os decimais continuam indefinidamente, o que ocorre é que o espaço das calculadoras comuns permite que apenas alguns sejam exibidos.

Se observarmos com atenção, sempre que fizermos o quociente entre dois números inteiros, obteremos um decimal com algarismos limitados ou, se não, com algarismos infinitos em que um ou mais se repetem. Bem, isso não acontece com números irracionais.

História de números irracionais

O grande matemático Pitágoras, nascido em 582 aC em Samos, Grécia, fundou a escola de pensamento pitagórica e descobriu o famoso teorema que leva seu nome. Temos aqui embaixo à esquerda (os babilônios podem ter sabido disso muito antes).

Figura 2. Teorema de Pitágoras aplicado a um triângulo com lados iguais a 1. Fonte: Pixabay / Wikimedia Commons.

Bem, quando Pitágoras (ou provavelmente um discípulo dele) aplicou o teorema a um triângulo retângulo com lados iguais a 1, ele encontrou o número irracional √2.

Ele fez assim:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

E ele imediatamente percebeu que esse novo número não vinha do quociente entre dois outros números naturais, que eram os conhecidos naquela época.

Ele, portanto, chamou de irracional, e a descoberta causou grande ansiedade e perplexidade entre os pitagóricos.

Propriedades de números irracionais

-O conjunto de todos os números irracionais é indicado com a letra I e às vezes como Q * ou Q ^C. A união entre os números irracionais I ou Q * e os números racionais Q, dá origem ao conjunto de números reais R.

- Com números irracionais, as operações aritméticas conhecidas podem ser realizadas: adição, subtração, multiplicação, divisão, empoderamento e muito mais.

-A divisão por 0 também não é definida entre números irracionais.

-A soma e o produto entre os números irracionais não é necessariamente outro número irracional. Por exemplo:

√2 x √8 = √16 = 4

E 4 não é um número irracional.

-No entanto, a soma de um número racional mais um número irracional dá um resultado irracional. Desta maneira:

1 + √2 = 2,41421356237…

-O produto de um número racional diferente de 0 por um número irracional também é irracional. Vejamos este exemplo:

2 x √2 = 2,828427125…

-O inverso de um irracional resulta em outro número irracional. Vamos tentar alguns:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Esses números são interessantes porque também são os valores de algumas razões trigonométricas de ângulos conhecidos. A maioria das razões trigonométricas são números irracionais, mas há exceções, como sen 30º = 0,5 = ½, o que é racional.

-Na soma as propriedades comutativas e associativas são cumpridas. Se aeb são dois números irracionais, isso significa que:

a + b = b + a.

E se c for outro número irracional, então:

(a + b) + c = a + (b + c).

-A propriedade distributiva da multiplicação com respeito à adição é outra propriedade bem conhecida que também é verdadeira para números irracionais. Neste caso:

a. (b + c) = ab + ac

-Um a irracional tem seu oposto: -a. Quando eles são somados, o resultado é 0:

a + (- a) = 0

-Entre dois racionais diferentes, há pelo menos um número irracional.

Localização de um número irracional na linha real

A linha real é uma linha horizontal onde os números reais estão localizados, da qual os números irracionais são uma parte importante.

Para encontrar um número irracional na reta real, na forma geométrica, podemos usar o teorema de Pitágoras, uma régua e um compasso.

Como exemplo, vamos localizar √5 na reta real, para a qual desenhamos um triângulo retângulo com lados x = 2 ey = 1, conforme mostrado na figura:

Figura 3. Método para localizar um número irracional na linha real. Fonte: F. Zapata.

Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa de tal triângulo é:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Agora a bússola é colocada com o ponto em 0, onde um dos vértices do triângulo retângulo também está. A ponta do lápis da bússola deve estar no vértice A.

Um arco de circunferência é desenhado que corta a linha real. Como a distância entre o centro da circunferência e qualquer ponto sobre ela é o raio, que é igual a √5, o ponto de interseção também está longe de √5 do centro.

No gráfico, pode-se ver que √5 está entre 2 e 2,5. Uma calculadora nos dá o valor aproximado de:

√5 = 2,236068

E assim, construindo um triângulo com os lados apropriados, outros irracionais podem ser localizados, como √7 e outros.

Classificação de números irracionais

Os números irracionais são classificados em dois grupos:

-Algébrico

-Transcendental ou transcendental

Números algébricos

Os números algébricos, que podem ou não ser irracionais, são soluções de equações polinomiais cuja forma geral é:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Um exemplo de equação polinomial é uma equação quadrática como esta:

x ³ - 2x = 0

É fácil mostrar que o número irracional √2 é uma das soluções desta equação.

Números transcendentes

Por outro lado, os números transcendentes, embora sejam irracionais, nunca surgem como solução para uma equação polinomial.

Os números transcendentes encontrados com mais frequência na matemática aplicada são π, devido à sua relação com a circunferência e o número e, ou número de Euler, que é a base dos logaritmos naturais.

Exercício

Um quadrado cinza é colocado em um quadrado preto na posição indicada na figura. A área do quadrado preto é conhecida por ser de 64 cm ². Qual é o comprimento de ambos os quadrados?

Figura 4. Dois quadrados, dos quais queremos encontrar o comprimento dos lados. Fonte: F. Zapata.

Resposta

A área de um quadrado com o lado L é:

A = L ²

Como o quadrado preto tem 64 cm ² de área, seu lado deve ter 8 cm.

Essa medida é igual à diagonal do quadrado cinza. Aplicando o teorema de Pitágoras a esta diagonal, e lembrando que os lados de um quadrado medem o mesmo, teremos:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Onde L _g é o lado do quadrado cinza.

Portanto: 2L _g ² = 8 ²

Aplicando raiz quadrada a ambos os lados da igualdade:

L _g = (8 / √2) cm

Referências

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 9th. Grau. Edições CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Portal Educacional. Números irracionais e suas propriedades. Recuperado de: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Números irracionais. Recuperado de: es.wikipedia.org.