ÂNGULO NULO: DEFINIÇÃO E CARACTERÍSTICAS, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

O ângulo nulo é aquele cuja medida é 0, tanto em graus como em radianos ou outro sistema de medição de ângulo. Portanto, falta largura ou abertura, como aquela formada entre duas linhas paralelas.

Embora sua definição pareça simples, o ângulo nulo é muito útil em muitas aplicações de física e engenharia, bem como em navegação e design.

Figura 1. Entre a velocidade e a aceleração do carro existe um ângulo zero, pois o carro anda cada vez mais rápido. Fonte: Wikimedia Commons.

Existem quantidades físicas que devem ser alinhadas em paralelo para atingir certos efeitos: se um carro se move em linha reta em uma rodovia e entre seu vetor de velocidade v e seu vetor de aceleração a há 0º, o carro se move cada vez mais rápido, mas se o carro freios, sua aceleração é oposta à sua velocidade (ver figura 1).

A figura a seguir mostra diferentes tipos de ângulo, incluindo o ângulo nulo à direita. Como pode ser visto, o ângulo 0º carece de largura ou abertura.

Figura 2. Tipos de ângulo, incluindo o ângulo nulo. Fonte: Wikimedia Commons. Orias.

Exemplos de ângulos nulos

As linhas paralelas são conhecidas por formar um ângulo zero entre si. Quando você tem uma linha horizontal, ela é paralela ao eixo x do sistema de coordenadas cartesianas, portanto sua inclinação em relação a ela é 0. Em outras palavras, as linhas horizontais têm inclinação zero.

Figura 3. As linhas horizontais têm inclinação zero. Fonte: F. Zapata.

Além disso, as razões trigonométricas do ângulo nulo são 0, 1 ou infinito. Portanto, o ângulo nulo está presente em muitas situações físicas que envolvem operações com vetores. Esses motivos são:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-seg 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

E serão úteis para analisar alguns exemplos de situações em que a presença do ângulo nulo desempenha um papel fundamental:

- Efeitos do ângulo nulo nas magnitudes físicas

Adição de vetor

Quando dois vetores são paralelos, o ângulo entre eles é zero, como visto na Figura 4a acima. Nesse caso, a soma de ambos é realizada colocando-se um após o outro e a magnitude do vetor soma é a soma das magnitudes dos adendos (figura 4b).

Figura 4. Soma dos vetores paralelos, neste caso o ângulo entre eles é um ângulo nulo. Fonte: F. Zapata.

Quando dois vetores são paralelos, o ângulo entre eles é zero, como visto na Figura 4a acima. Neste caso, a soma de ambos é realizada colocando-se um após o outro e a magnitude do vetor soma é a soma das magnitudes dos adendos (figura 4b)

O torque ou torque

O torque ou torque causa a rotação de um corpo. Depende da magnitude da força aplicada e como ela é aplicada. Um exemplo muito representativo é a chave inglesa na figura.

Para obter o melhor efeito de giro, a força é aplicada perpendicular ao cabo da chave, para cima ou para baixo, mas nenhuma rotação é esperada se a força for paralela ao cabo.

Figura 5. Quando o ângulo entre os vetores posição e força é zero, nenhum torque é produzido e, portanto, não há efeito de spin. Fonte: F. Zapata.

Matematicamente, o torque τ é definido como o produto vetorial ou produto vetorial entre os vetores r (vetor posição) e F (vetor força) da figura 5:

τ = r x F

A magnitude do torque é:

τ = r F sin θ

Θ sendo o ângulo entre r e F. Quando sen θ = 0 o torque é zero, neste caso θ = 0º (ou também 180º).

Fluxo de campo elétrico

O fluxo do campo elétrico é uma quantidade escalar que depende da intensidade do campo elétrico e da orientação da superfície por onde passa.

Na Figura 6, há uma superfície circular da área A através da qual as linhas de campo elétrico E passam. A orientação da superfície é dada pelo vetor normal n. À esquerda, o campo e o vetor normal formam um ângulo agudo arbitrário θ, no centro formam um ângulo nulo entre si e à direita são perpendiculares.

Quando E e n são perpendiculares, as linhas de campo não cruzam a superfície e, portanto, o fluxo é zero, enquanto quando o ângulo entre E e n é zero, as linhas cruzam completamente a superfície.

Denotando o fluxo de campo elétrico pela letra grega Φ (leia "fi"), sua definição para um campo uniforme como na figura, fica assim:

Φ = E • n A

O ponto no meio de ambos os vetores denota o produto escalar ou produto escalar, que é alternativamente definido da seguinte forma:

Φ = E • n A = EAcosθ

O negrito e as setas acima da letra são recursos para diferenciar entre um vetor e sua magnitude, que é denotada por letras normais. Como cos 0 = 1, o fluxo é máximo quando E e n são paralelos.

Figura 6. O fluxo do campo elétrico depende da orientação entre a superfície e o campo elétrico. Fonte: F. Zapata.

Exercícios

- Exercício 1

Duas forças P e Q atuam simultaneamente em um objeto de ponto X, ambas as forças inicialmente formam um ângulo θ entre elas. O que acontece com a magnitude da força resultante quando θ diminui para zero?

Figura 7. O ângulo entre duas forças que atuam sobre um corpo diminui até que seja cancelado, caso em que a magnitude da força resultante adquire seu valor máximo. Fonte: F. Zapata.

Solução

A magnitude da força resultante Q + P aumenta gradualmente até atingir o máximo quando Q e P estão completamente paralelos (figura 7 à direita).

- Exercício 2

Indique se o ângulo nulo é uma solução da seguinte equação trigonométrica:

Solução

Uma equação trigonométrica é aquela em que o desconhecido é parte do argumento de uma razão trigonométrica. Para resolver a equação proposta, é conveniente usar a fórmula para o cosseno do ângulo duplo:

cos 2x = cos ² x - sen ² x

Porque, dessa forma, o argumento do lado esquerdo se torna x em vez de 2x. Assim:

cos ² x - sen ² x = 1 + 4 sen x

Por outro lado, cos ² x + sin ² x = 1, então:

cos ² x - sen ² x = cos ² x + sen ² x + 4 sen x

O termo cos ² x é cancelado e permanece:

- sen ² x = sen ² x + 4 sen x → - ² sen ² x - 4 senx = 0 → ² sen ² x + 4 senx = 0

Agora a seguinte mudança de variável é feita: sinx = u e a equação se torna:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Cujas soluções são: u = 0 e u = -4. Retornando a mudança, teríamos duas possibilidades: sin x = 0 e sinx = -4. Esta última solução não é viável, porque o seno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, então ficamos com a primeira alternativa:

sin x = 0

Portanto, x = 0º é uma solução, mas qualquer ângulo cujo seno seja 0 também funciona, que também pode ser 180º (π radianos), 360º (2 π radianos) e os respectivos negativos.

A solução mais geral da equação trigonométrica é: x = kπ onde k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k um inteiro.

Referências

1. Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 3. Sistemas de partículas. Editado por Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 5. Interação elétrica. Editado por Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Tipos de ângulos. Recuperado de: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, Trigonometry and Analytical Geometry. McGraw Hill Interamericana.