PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

Um parabolóide hiperbólico é uma superfície cuja equação geral em coordenadas cartesianas (x, y, z) satisfaz a seguinte equação:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

O nome "parabolóide" vem do fato de que a variável z depende dos quadrados das variáveis ​​xe y. Já o adjetivo "hiperbólico" se deve ao fato de que em valores fixos de z temos a equação de uma hipérbole. A forma desta superfície é semelhante à de uma sela de cavalo.

Figura 1. Parabolóide hiperbólico z = x ² - y ². Fonte: F. Zapata usando Wolfram Mathematica.

Descrição do parabolóide hiperbólico

Para entender a natureza do parabolóide hiperbólico, a seguinte análise será feita:

1.- Tomaremos o caso particular a = 1, b = 1, isto é que a equação cartesiana do parabolóide permanece como z = x ² - y ².

2.- Os planos são considerados paralelos ao plano ZX, ou seja, y = ctte.

3.- Com y = ctte permanece z = x ² - C, que representam as parábolas com os ramos para cima e o vértice abaixo do plano XY.

Figura 2. Família de curvas z = x ² - C. Fonte: F. Zapata usando Geogebra.

4.- Com x = ctte permanece z = C - y ², que representam as parábolas com os ramos para baixo e o vértice acima do plano XY.

Figura 3. Família de curvas z = C - y ². Fonte: F. Zapata por Geogebra.

5.- Com z = ctte permanece C = x ² - y ², que representam hipérboles em planos paralelos ao plano XY. Quando C = 0, existem duas linhas (em + 45º e -45º em relação ao eixo X) que se cruzam na origem no plano XY.

Figura 4. Família de curvas x ² - y ² = C. Fonte: F. Zapata usando Geogebra..

Propriedades do parabolóide hiperbólico

1.- Quatro pontos diferentes no espaço tridimensional definem um e apenas um parabolóide hiperbólico.

2.- O parabolóide hiperbólico é uma superfície duplamente regida. Isso significa que, apesar de ser uma superfície curva, duas linhas diferentes passam por cada ponto de um parabolóide hiperbólico que pertence totalmente ao parabolóide hiperbólico. A outra superfície que não é um plano e é duplamente regida é o hiperbolóide da revolução.

É precisamente a segunda propriedade do parabolóide hiperbólico que permitiu seu amplo uso na arquitetura, uma vez que a superfície pode ser gerada a partir de vigas retas ou cordas.

A segunda propriedade do parabolóide hiperbólico permite uma definição alternativa dele: é a superfície que pode ser gerada por uma linha reta móvel paralela a um plano fixo e corta duas linhas fixas que servem de guia. A figura a seguir esclarece esta definição alternativa do parabolóide hiperbólico:

Figura 5. O parabolóide hiperbólico é uma superfície duplamente regida. Fonte: F. Zapata.

Exemplos trabalhados

- Exemplo 1

Mostre que a equação: z = xy, corresponde a um parabolóide hiperbólico.

Solução

Uma transformação será aplicada às variáveis ​​xey correspondentes a uma rotação dos eixos cartesianos em relação ao eixo Z de + 45º. As antigas coordenadas x e y são transformadas nas novas x 'e y' de acordo com as seguintes relações:

x = x '- y'

y = x '+ y'

enquanto a coordenada z permanece a mesma, ou seja, z = z '.

Ao substituir na equação z = xy, temos:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Ao aplicar o produto notável da diferença pela soma igual à diferença dos quadrados, temos:

z '= x' ² - y ' ²

que corresponde claramente à definição inicialmente dada de parabolóide hiperbólico.

A interceptação dos planos paralelos ao eixo XY com o parabolóide hiperbólico z = xy determina hipérboles equiláteros que têm como assíntotas os planos x = 0 ey = 0.

- Exemplo 2

Determine os parâmetros aeb do parabolóide hiperbólico que passa pelos pontos A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) e D (2, -1, 32/9).

Solução

De acordo com suas propriedades, quatro pontos no espaço tridimensional determinam um único parabolóide hiperbólico. A equação geral é:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Substituímos os valores fornecidos:

Para o ponto A, temos 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², uma equação que é satisfeita quaisquer que sejam os valores dos parâmetros a e b.

Substituindo o ponto B, obtemos:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Enquanto para o ponto C permanece:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Finalmente, para o ponto D, obtemos:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Que é idêntica à equação anterior. Em última análise, o sistema de equações deve ser resolvido:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Subtraindo a segunda equação da primeira resulta:

27/9 = 3 / a ^{2, o} que implica que a ² = 1.

De forma semelhante, a segunda equação é subtraída do quádruplo da primeira, obtendo:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Que é simplificado como:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Em suma, o parabolóide hiperbólico que passa pelos pontos dados A, B, C e D tem uma equação cartesiana dada por:

z = x ² - (4/9) y ²

- Exemplo 3

De acordo com as propriedades do parabolóide hiperbólico, duas linhas passam por cada ponto que está completamente contido nele. Para o caso z = x ^ 2 - y ^ 2 encontre a equação das duas retas que passam pelo ponto P (0, 1, -1) pertencente claramente ao parabolóide hiperbólico, de modo que todos os pontos dessas retas também pertencem ao mesmo.

Solução

Usando o notável produto da diferença de quadrados, a equação para o parabolóide hiperbólico pode ser escrita assim:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Onde c é uma constante diferente de zero.

A equação x + y = cz, e a equação x - y = 1 / c correspondem a dois planos com vetores normais n = <1,1, -c> e m = <1, -1,0>. O produto vetorial mxn = <- c, -c, -2> nos dá a direção da linha de interseção dos dois planos. Então, uma das retas que passa pelo ponto P e pertence ao parabolóide hiperbólico tem uma equação paramétrica:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Para determinar c, substituímos o ponto P na equação x + y = cz, obtendo:

c = -1

De maneira semelhante, mas considerando as equações (x - y = kz) e (x + y = 1 / k), temos a equação paramétrica da reta:

= <0, 1, -1> + s com k = 1.

Em resumo, as duas linhas:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> e = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Eles estão completamente contidos no parabolóide hiperbólico z = x ² - y ^{2 que} passa pelo ponto (0, 1, -1).

Como verificação, suponha que t = 1, o que nos dá o ponto (1,2, -3) na primeira linha. Você deve verificar se também está no parabolóide z = x ² - y ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

O que confirma que ele realmente pertence à superfície do parabolóide hiperbólico.

O parabolóide hiperbólico na arquitetura

Figura 6. Oceanográfico de Valência (Espanha). Fonte: Wikimedia Commons.

O parabolóide hiperbólico foi utilizado na arquitetura pelos grandes arquitetos de vanguarda, entre os quais se destacam os nomes do arquiteto espanhol Antoni Gaudí (1852-1926) e muito particularmente do também espanhol Félix Candela (1910-1997).

Abaixo estão alguns trabalhos baseados no parabolóide hiperbólico:

-Chapel da cidade de Cuernavaca (México) obra do arquiteto Félix Candela.

-O Oceanográfico de Valência (Espanha), também de Félix Candela.

Referências

1. Enciclopédia de matemática. Superfície governada. Recuperado de: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Parabolóide hiperbólico. Recuperado de: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." From MathWorld - A Wolfram Web Resource. Recuperado de: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Parabolóide. Recuperado de: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Parabolóide. Recuperado de: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Superfície regida. Recuperado de: en.wikipedia.com