PARALELEPÍPEDO: CARACTERÍSTICAS, TIPOS, ÁREA, VOLUME - MATEMÁTICAS - 2025

Um paralelepípedo é um corpo geométrico formado por seis faces, cuja principal característica é que todas as suas faces são paralelogramos e também que suas faces opostas são paralelas entre si. É um poliedro comum em nosso dia a dia, pois podemos encontrá-lo em caixas de sapatos, em forma de tijolo, em forma de micro-ondas, etc.

Sendo um poliedro, o paralelepípedo encerra um volume finito e todas as suas faces são planas. Faz parte do grupo de prismas, que são aqueles poliedros em que todos os seus vértices estão contidos em dois planos paralelos.

Elementos do paralelepípedo

Rostos

São cada uma das regiões formadas por paralelogramos que limitam o paralelepípedo. Um paralelepípedo possui seis faces, onde cada face possui quatro faces adjacentes e uma oposta. Além disso, cada face é paralela ao seu oposto.

Arestas

Eles são o lado comum de duas faces. No total, um paralelepípedo possui doze arestas.

Vértice

É o ponto comum de três faces adjacentes uma a outra duas a duas. Um paralelepípedo possui oito vértices.

Diagonal

Dadas duas faces de um paralelepípedo opostas, podemos desenhar um segmento de reta que vai do vértice de uma face ao vértice oposto da outra.

Este segmento é conhecido como diagonal do paralelepípedo. Cada paralelepípedo possui quatro diagonais.

Centro

É o ponto em que todas as diagonais se cruzam.

Características do paralelepípedo

Como já mencionamos, esse corpo geométrico possui doze arestas, seis faces e oito vértices.

Em um paralelepípedo, podem ser identificados três conjuntos formados por quatro arestas, paralelas entre si. Além disso, as arestas dos referidos conjuntos também têm a propriedade de terem o mesmo comprimento.

Outra propriedade dos paralelepípedos é que são convexos, ou seja, se tomarmos qualquer par de pontos pertencentes ao interior do paralelepípedo, o segmento determinado por esse par de pontos também estará dentro do paralelepípedo.

Além disso, paralelepípedos sendo poliedros convexos, obedecem ao teorema de Euler para poliedros, que nos dá uma relação entre o número de faces, o número de arestas e o número de vértices. Essa relação é dada na forma da seguinte equação:

C + V = A + 2

Essa característica é conhecida como característica de Euler.

Onde C é o número de faces, V o número de vértices e A o número de arestas.

Tipos

Podemos classificar paralelepípedos com base em suas faces, nos seguintes tipos:

Ortoedro

Eles são os paralelepípedos onde suas faces são formadas por seis retângulos. Cada retângulo é perpendicular àqueles que compartilham uma aresta. São os mais comuns no nosso dia-a-dia, sendo esta a forma usual de caixas de sapatos e tijolos.

Cubo regular ou hexaedro

Este é um caso particular do anterior, onde cada uma das faces é um quadrado.

O cubo também faz parte dos corpos geométricos chamados sólidos platônicos. Um sólido platônico é um poliedro convexo, de forma que tanto suas faces quanto seus ângulos internos são iguais.

Romboedro

É um paralelepípedo com losangos na face. Esses losangos são todos iguais, uma vez que compartilham bordas.

Romboedro

Suas seis faces são rombóides. Lembre-se de que um romboide é um polígono com quatro lados e quatro ângulos que são iguais a dois para dois. Romboides são paralelogramos que não são quadrados, nem retângulos, nem losangos.

Por outro lado, paralelepípedos oblíquos são aqueles em que pelo menos uma altura não condiz com sua borda. Nesta classificação podemos incluir romboedros e romboedros.

Cálculo diagonais

Para calcular a diagonal de um ortoedro, podemos usar o teorema de Pitágoras para R ³.

Lembre-se de que um ortoedro tem a característica de que cada lado é perpendicular aos lados que compartilham uma aresta. Deste fato podemos deduzir que cada aresta é perpendicular àquelas que compartilham um vértice.

Para calcular o comprimento de uma diagonal de um ortoedro, procedemos da seguinte forma:

1. Calculamos a diagonal de uma das faces, que colocaremos como base. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras. Vamos nomear essa diagonal d _b.

2. Então com d _b podemos formar um novo triângulo retângulo, de forma que a hipotenusa do referido triângulo seja a diagonal D que estamos procurando.

3. Usamos o teorema de Pitágoras novamente e temos que o comprimento desta diagonal é:

Outra forma de calcular diagonais de forma mais gráfica é com a adição de vetores livres.

Lembre-se de que dois vetores livres A e B são adicionados colocando a cauda do vetor B com a ponta do vetor A.

O vetor (A + B) é aquele que começa na cauda de A e termina na ponta de B.

Consideremos um paralelepípedo para o qual desejamos calcular uma diagonal.

Identificamos as arestas com vetores convenientemente orientados.

Em seguida, adicionamos esses vetores e o vetor resultante será a diagonal do paralelepípedo.

Área

A área de um paralelepípedo é dada pela soma de cada uma das áreas de suas faces.

Se determinarmos um dos lados como base, A _L + 2A _B = Área Total

Onde A _L é igual à soma das áreas de todos os lados adjacentes à base, chamada de área lateral e A _B é a área da base.

Dependendo do tipo de paralelepípedo com o qual estamos trabalhando, podemos reescrever esta fórmula.

Área de um ortoedro

É dado pela fórmula

A = 2 (ab + bc + ca).

Exemplo 1

Dado o seguinte ortoedro, com lados a = 6 cm, b = 8 cm ec = 10 cm, calcule a área do paralelepípedo e o comprimento de sua diagonal.

Usando a fórmula para a área de um ortoedro, temos que

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Observe que, por ser um ortoedro, o comprimento de qualquer uma de suas quatro diagonais é o mesmo.

Usando o teorema de Pitágoras para o espaço, temos que

D = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Área de um cubo

Como cada aresta tem o mesmo comprimento, temos que a = be a = c. Substituindo na fórmula anterior, temos

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ²) = 6a ²

A = 6a ²

Exemplo 2

A caixa de uma consola de jogos tem a forma de um cubo. Se quisermos embrulhar esta caixa em papel de presente, quanto papel gastaríamos sabendo que o comprimento das bordas do cubo é de 45 cm?

Usando a fórmula para a área do cubo, obtemos que

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ²) = 12150 cm ²

Área de um romboedro

Como todas as faces são iguais, basta calcular a área de uma delas e multiplicar por seis.

Temos que a área de um losango pode ser calculada através de suas diagonais com a seguinte fórmula

A _R = (Dd) / 2

Usando esta fórmula, segue que a área total do romboedro é

Um _T = 6 (Dd) / 2 = 3DD.

Exemplo 3

As faces do romboedro seguinte são formadas por um losango cujas diagonais são D = 7 cm ed = 4 cm. Sua área será

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ².

Área de um romboedro

Para calcular a área de um romboedro devemos calcular a área dos rombóides que o compõem. Como os paralelepípedos cumprem a propriedade de que lados opostos têm a mesma área, podemos associar os lados em três pares.

Desta forma temos que sua área será

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Onde o b _i são as bases associadas aos lados e o h _i sua altura relativa correspondente a essas bases.

Exemplo 4

Considere o seguinte paralelepípedo,

onde lado A e lado A '(seu lado oposto) têm uma base b = 10 e uma altura h = 6. A área marcada terá um valor de

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

O B e B 'têm b = 4 e h = 6, então

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC e C 'têm b = 10 e h = 5, portanto

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Finalmente, a área do romboedro é

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume de paralelepípedo

A fórmula que nos dá o volume de um paralelepípedo é o produto da área de uma de suas faces pela altura correspondente a essa face.

V = A _C h _C

Dependendo do tipo de paralelepípedo, esta fórmula pode ser simplificada.

Assim, temos por exemplo que o volume de um ortoedro seria dado por

V = abc.

Onde a, bec representam o comprimento das bordas do ortoedro.

E no caso particular do cubo é

V = a ³

Exemplo 1

Existem três modelos diferentes de caixas para biscoitos e você quer saber em qual desses modelos você pode armazenar mais biscoitos, ou seja, qual das caixas tem o maior volume.

O primeiro é um cubo cuja aresta tem comprimento de a = 10 cm

Seu volume será V = 1000 cm ³

O segundo tem bordas b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

E, portanto, seu volume é V = 765 cm ³

E o terceiro tem e = 9 cm, f = 9 cm e g = 13 cm

E seu volume é V = 1053 cm ³

Portanto, a caixa com o maior volume é a terceira.

Outro método para obter o volume de um paralelepípedo é usar álgebra vetorial. Em particular, o produto de ponto triplo.

Uma das interpretações geométricas que o produto escalar triplo possui é a do volume do paralelepípedo, cujas arestas são três vetores que compartilham o mesmo vértice como ponto de partida.

Desta forma, se temos um paralelepípedo e queremos saber qual é seu volume, basta representá-lo em um sistema de coordenadas em R ³ fazendo coincidir um de seus vértices com a origem.

Em seguida, representamos as arestas que coincidem na origem com vetores, conforme mostrado na figura.

E desta forma temos que o volume do dito paralelepípedo é dado por

V = - AxB ∙ C-

Ou, de maneira equivalente, o volume é o determinante da matriz 3 × 3, formada pelos componentes dos vetores de aresta.

Exemplo 2

Ao representar o seguinte paralelepípedo em R ³, podemos ver que os vetores que o determinam são os seguintes

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ew = (-0,25, -4, 4)

Usando o produto escalar triplo, temos

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Disto concluímos que V = 60

Consideremos agora o seguinte paralelepípedo em R3 cujas arestas são determinadas pelos vetores

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) e C = (3, 4, 4)

O uso de determinantes nos dá que

Assim, temos que o volume do referido paralelepípedo é 112.

Ambos são formas equivalentes de calcular o volume.

Paralelepípedo perfeito

Um ortoedro é conhecido como tijolo de Euler (ou bloco de Euler) que cumpre a propriedade de que tanto o comprimento de suas bordas quanto o comprimento das diagonais de cada uma de suas faces são números inteiros.

Embora Euler não tenha sido o primeiro cientista a estudar os ortoedros que cumprem essa propriedade, ele encontrou resultados interessantes sobre eles.

O menor tijolo de Euler foi descoberto por Paul Halcke e os comprimentos de suas bordas são a = 44, b = 117 ec = 240.

Um problema aberto na teoria dos números é o seguinte

Existem ortoedros perfeitos?

No momento, esta questão não foi respondida, uma vez que não foi possível provar que tais órgãos não existem, mas também não foi encontrado nenhum.

O que foi mostrado até agora é que existem paralelepípedos perfeitos. O primeiro a ser descoberto tem no comprimento de suas bordas os valores 103, 106 e 271.

Bibliografia

1. Guy, R. (1981). Problemas não resolvidos na teoria dos números. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Progresso.
3. Leithold, L. (1992). O cálculo com geometria analítica. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Desenho técnico: Livro de atividades 3 2º Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continental.