PROCESSO POLITRÓPICO: CARACTERÍSTICAS, APLICAÇÕES E EXEMPLOS - FISICA - 2025

Um processo politrópico é um processo termodinâmico que ocorre quando a relação entre a pressão P e o volume V dado por PV ⁿ é mantida constante. O expoente n é um número real, geralmente entre zero e infinito, mas em alguns casos pode ser negativo.

O valor de n é denominado índice de politropia e é importante notar que durante um processo termodinâmico politrópico, esse índice deve manter um valor fixo, caso contrário o processo não será considerado politrópico.

Figura 1. Equação característica de um processo termodinâmico politrópico. Fonte: F. Zapata.

Características dos processos politrópicos

Alguns casos característicos de processos politrópicos são:

- O processo isotérmico (a temperatura constante T), em que o expoente é n = 1.

- Um processo isobárico (a pressão constante P), neste caso n = 0.

- O processo isocórico (em volume constante V), para o qual n = + ∞.

- Processos adiabáticos (em entropia S constante), em que o expoente é n = γ, onde γ é a constante adiabática. Esta constante é o quociente entre a capacidade de calor em pressão constante Cp dividido pela capacidade de calor em volume constante Cv:

γ = Cp / Cv

- Qualquer outro processo termodinâmico que não seja um dos casos anteriores. mas isso atende PV ⁿ = ctte com índice politrópico real e constante n também será um processo politrópico.

Figura 2. Diferentes casos característicos de processos termodinâmicos politrópicos. Fonte: Wikimedia Commons.

Formulários

Uma das principais aplicações da equação politrópica é calcular o trabalho realizado por um sistema termodinâmico fechado, quando este passa de um estado inicial para um estado final de forma quase estática, ou seja, seguindo uma sucessão de estados de equilíbrio.

Trabalhe em processos politrópicos para diferentes valores de n

Para n ≠ 1

O trabalho mecânico W realizado por um sistema termodinâmico fechado é calculado pela expressão:

W = ∫P.dV

Onde P é a pressão e V é o volume.

Como no caso de um processo politrópico, a relação entre pressão e volume é:

Temos o trabalho mecânico feito durante um processo politrópico, que começa no estado inicial 1 e termina no estado final 2. Tudo isso aparece na seguinte expressão:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Ao substituir o valor da constante na expressão de trabalho, obtemos:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁) / (1-n)

No caso em que a substância de trabalho pode ser modelada como um gás ideal, temos a seguinte equação de estado:

PV = mRT

Onde m é o número de moles do gás ideal e R é a constante universal do gás.

Para um gás ideal que segue um processo politrópico com índice de politropia diferente da unidade e que passa de um estado com temperatura inicial T ₁ para outro estado com temperatura T ₂, o trabalho realizado é dado pela seguinte fórmula:

W = m R (T ₂ - T ₁) / (1-N)

Para n → ∞

De acordo com a fórmula do trabalho obtida na seção anterior, temos que o trabalho de um processo politrópico com n = ∞ é nulo, pois a expressão do trabalho é dividida pelo infinito e portanto o resultado tende a zero.

Outra forma de chegar a este resultado é partir da relação P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ, que pode ser reescrita da seguinte forma:

(P ₁ / P ₂) = (V ₂ / V1) ⁿ

Tomando a enésima raiz em cada membro, obtemos:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

No caso em que n → ∞, temos (V ₂ / V1) = 1, o que significa que:

V ₂ = V ₁

Ou seja, o volume não muda em um processo politrópico com n → ∞. Portanto, o volume diferencial dV na integral do trabalho mecânico é 0. Este tipo de processos politrópicos também são conhecidos como processos isocóricos ou processos de volume constante.

Para n = 1

Novamente temos a expressão a expressão para trabalho:

W = ∫P dV

No caso de um processo politrópico com n = 1, a relação entre pressão e volume é:

PV = constante = C

Resolvendo P da expressão anterior e substituindo, temos o trabalho feito para ir do estado inicial 1 para o estado final 2:

Quer dizer:

W = C ln (V ₂ / V ₁).

Como os estados inicial e final são bem determinados, o ctte também o será. Quer dizer:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Finalmente, temos as seguintes expressões úteis para encontrar o trabalho mecânico de um sistema politrópico fechado em que n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Se a substância de trabalho consiste em m moles de gás ideal, então a equação de estado do gás ideal pode ser aplicada: PV = mRT

Neste caso, como PV ₁ = ctte, temos que um processo politrópico com n = 1 é um processo a temperatura constante T (isotérmico), de forma que as seguintes expressões para o trabalho podem ser obtidas:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Figura 3. Um gelo derretendo, exemplo de um processo isotérmico. Fonte: Pixabay.

Exemplos de processos politrópicos

- Exemplo 1

Suponha um cilindro com um pistão móvel preenchido com um quilograma de ar. Inicialmente o ar ocupa um volume V ₁ = 0,2 m ³ a uma pressão P ₁ = 400 kPa. Um processo politrópico é seguido com n = γ = 1,4, cujo estado final tem pressão P ₂ = 100 kPa. Determine o trabalho realizado pelo ar no pistão.

Solução

Quando o índice de politropia é igual à constante adiabática, há um processo no qual a substância de trabalho (ar) não troca calor com o meio ambiente e, portanto, a entropia também não muda.

Para o ar, um gás ideal diatômico, temos:

γ = Cp / Cv, com Cp = (7/2) R e Cv = (5/2) R

Assim:

γ = 7/5 = 1,4

Usando a expressão do processo politrópico, o volume final do ar pode ser determinado:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³.

Agora temos as condições de aplicar a fórmula do trabalho realizado em um processo politrópico para n ≠ 1 obtido acima:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Substituindo os valores apropriados, temos:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Exemplo 2

Suponha o mesmo cilindro do Exemplo 1, com um pistão móvel preenchido com um quilograma de ar. Inicialmente, o ar ocupa um volume V1 = 0,2 m ³ a uma pressão P1 = 400 kPa. Mas, ao contrário do caso anterior, o ar se expande isotermicamente para atingir uma pressão final P2 = 100 kPa. Determine o trabalho realizado pelo ar no pistão.

Solução

Como visto anteriormente, os processos isotérmicos são processos politrópicos com índice n = 1, então é verdade que:

P1 V1 = P2 V2

Desta forma, o volume final pode ser facilmente destacado para obter:

V2 = 0,8 m ³

Então, usando a expressão de trabalho obtida anteriormente para o caso n = 1, temos que o trabalho feito pelo ar no pistão neste processo é:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Referências

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Thermodynamics. 7ª Edição. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 4. Fluidos e termodinâmica. Editado por Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. A Primeira Lei da Termodinâmica. Recuperado de: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9th Ed. Cengage Learning.
7. Sevilla University. Máquinas Térmicas. Recuperado de: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Processo politrópico. Recuperado de: wikiwand.com.