- Produtos e exemplos notáveis
- Binomial ao quadrado
- Produto de binômios conjugados
- Produto de dois binômios com um termo comum
- Polinômio quadrado
- Binomial ao cubo
- Cubo de um trinômio
- Exercícios resolvidos de produtos notáveis
- Exercício 1
- Solução
- Exercício 2
- Solução
- Referências
Os produtos notáveis são operações algébricas, onde se expressam multiplicações de polinômios, que não precisam ser resolvidas tradicionalmente, mas com a ajuda de certas regras os resultados das mesmas podem ser encontrados.
Os polinômios são multiplicados por sim, portanto, é possível que tenham um grande número de termos e variáveis. Para tornar o processo mais curto, são utilizadas as regras de produtos notáveis, que permitem a multiplicação sem ter que ir termo a termo.
Produtos e exemplos notáveis
Cada produto notável é uma fórmula que resulta de uma fatoração, composta por polinômios de vários termos, como binômios ou trinômios, chamados fatores.
Os fatores são a base de um poder e têm um expoente. Quando os fatores são multiplicados, os expoentes devem ser somados.
Existem várias fórmulas de produtos notáveis, algumas são mais usadas do que outras, dependendo dos polinômios, e são as seguintes:
Binomial ao quadrado
É a multiplicação de um binômio por si só, expresso como uma potência, onde os termos são somados ou subtraídos:
para. Binômio da soma quadrada: é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto dos termos, mais o quadrado do segundo termo. É expresso da seguinte forma:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Na figura a seguir você pode ver como o produto se desenvolve de acordo com a regra acima mencionada. O resultado é chamado de trinômio de um quadrado perfeito.
Exemplo 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Exemplo 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2.
b. Binomial de uma subtração ao quadrado: aplica-se a mesma regra do binômio de uma soma, só que neste caso o segundo termo é negativo. Sua fórmula é a seguinte:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2.
Exemplo 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Produto de binômios conjugados
Dois binômios são conjugados quando os segundos termos de cada um têm sinais diferentes, ou seja, o primeiro é positivo e o segundo negativo ou vice-versa. É resolvido elevando ao quadrado cada monômio e subtraindo. Sua fórmula é a seguinte:
(a + b) * (a - b)
Na figura a seguir desenvolve-se o produto de dois binômios conjugados, onde se observa que o resultado é uma diferença de quadrados.
Exemplo 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2.
Produto de dois binômios com um termo comum
É um dos produtos notáveis mais complexos e pouco utilizados, pois é uma multiplicação de dois binômios que possuem um termo comum. A regra afirma o seguinte:
- O quadrado do termo comum.
- Mais a soma dos termos que não são comuns e multiplique-os pelo termo comum.
- Mais a soma da multiplicação dos termos que não são comuns.
É representado na fórmula: (x + a) * (x + b) e é desenvolvido conforme mostrado na imagem. O resultado é um trinômio quadrado não perfeito.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Existe a possibilidade de que o segundo termo (o termo diferente) seja negativo e sua fórmula seja a seguinte: (x + a) * (x - b).
Exemplo 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Também pode ser o caso de os dois termos diferentes serem negativos. Sua fórmula será: (x - a) * (x - b).
Exemplo 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Polinômio quadrado
Neste caso, existem mais de dois termos e para desenvolvê-lo, cada um é elevado ao quadrado e adicionado junto com o dobro da multiplicação de um termo por outro; sua fórmula é: (a + b + c) 2 e o resultado da operação é um trinômio ao quadrado.
Exemplo 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial ao cubo
É um produto extremamente complexo. Para desenvolvê-lo, o binômio é multiplicado pelo seu quadrado, da seguinte forma:
para. Para o binômio ao cubo de uma soma:
- O cubo do primeiro termo, mais o triplo do quadrado do primeiro termo vezes o segundo.
- Mais o triplo do primeiro termo, vezes o segundo ao quadrado.
- Mais o cubo do segundo mandato.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3.
Exemplo 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Para o binômio ao cubo de uma subtração:
- O cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo.
- Mais o triplo do primeiro termo, vezes o segundo ao quadrado.
- Menos o cubo do segundo termo.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2)
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3.
Exemplo 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Cubo de um trinômio
É desenvolvido multiplicando-o pelo seu quadrado. É um produto notável muito extenso porque você tem 3 termos ao cubo, mais três vezes cada termo ao quadrado, multiplicado por cada um dos termos, mais seis vezes o produto dos três termos. Visto de uma maneira melhor:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Exemplo 1
Exercícios resolvidos de produtos notáveis
Exercício 1
Expanda o seguinte binômio ao cubo: (4x - 6) 3.
Solução
Lembrando que um binômio ao cubo é igual ao primeiro termo ao cubo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo; mais o triplo do primeiro termo, vezes o segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Exercício 2
Desenvolva o seguinte binômio: (x + 3) (x + 8).
Solução
Existe um binômio onde existe um termo comum, que é xe o segundo termo é positivo. Para desenvolvê-lo, basta elevar ao quadrado o termo comum mais a soma dos termos que não são comuns (3 e 8) e depois multiplicá-los pelo termo comum, mais a soma da multiplicação dos termos que não são comuns.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Referências
- Angel, AR (2007). Álgebra elementar. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Reino Unido: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Álgebra elementar e intermediária: uma abordagem combinada. Flórida: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.