PONTOS COPLANARES: EQUAÇÃO, EXEMPLO E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - MATEMÁTICAS - 2025

Os pontos coplanares pertencem todos ao mesmo plano. Dois pontos são sempre coplanares, uma vez que esses pontos definem uma linha pela qual passam planos infinitos. Então, ambos os pontos pertencem a cada um dos planos que passam pela linha e, portanto, serão sempre coplanares.

Por outro lado, três pontos definem um único plano, do qual se segue que três pontos serão sempre coplanares ao plano que determinam.

Figura 1. A, B, C e D são coplanares ao plano (Ω). E, F e G não são coplanares a (Ω), mas são coplanares ao plano que definem. Fonte: F. Zapata.

Mais de três pontos podem ser coplanares ou não. Por exemplo, na figura 1, os pontos A, B, C e D são coplanares ao plano (Ω). Mas E, F e G não são coplanares a (Ω), embora sejam coplanares ao plano que definem.

Equação de um plano com três pontos

A equação de um plano determinada por três pontos conhecidos A, B, C é uma relação matemática que garante que qualquer ponto P com coordenadas genéricas (x, y, z) que cumpre a equação pertence a esse plano.

A afirmação anterior equivale a dizer que se P de coordenadas (x, y, z) cumpre a equação do plano, então o referido ponto será coplanar com os três pontos A, B, C que determinaram o plano.

Para encontrar a equação deste plano, vamos começar encontrando os vetores AB e AC:

AB =

AC =

O produto vetorial AB X AC resulta em um vetor perpendicular ou normal ao plano determinado pelos pontos A, B, C.

Qualquer ponto P com coordenadas (x, y, z) pertence ao plano se o vetor AP for perpendicular ao vetor AB X AC, o que é garantido se:

AP • (AB X AC) = 0

Isso equivale a dizer que o produto triplo de AP, AB e AC é zero. A equação acima pode ser escrita em forma de matriz:

Exemplo

Deixe os pontos A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) e D (a, 0, 1). Qual valor deve ter para os quatro pontos serem coplanares?

Solução

Para encontrar o valor de a, o ponto D deve fazer parte do plano determinado por A, B e C, o que é garantido se satisfizer a equação do plano.

Desenvolvendo o determinante, temos:

A equação anterior nos diz que a = -1 para a igualdade a ser cumprida. Em outras palavras, a única maneira que o ponto D (a, 0,1) é coplanar com os pontos A, B e C é para a ser -1. Caso contrário, não será coplanar.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Um plano cruza os eixos cartesianos X, Y, Z em 1, 2 e 3, respectivamente. A intersecção deste plano com os eixos determina os pontos A, B e C. Encontre a componente Dz de um ponto D, cujos componentes cartesianos são:

Desde que D seja coplanar com os pontos A, B e C.

Solução

Quando as interceptações de um plano com os eixos cartesianos são conhecidas, a forma segmentar da equação do plano pode ser usada:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Como o ponto D deve pertencer ao plano anterior, ele deve:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Quer dizer:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Do exposto, segue-se que o ponto D (3, -2, -3) é coplanar com os pontos A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) e C (0, 0, 3).

- Exercício 2

Determine se os pontos A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) e D (2, 3, 1) são coplanares.

Solução

Formamos a matriz cujas linhas são as coordenadas de DA, BA e CA. Em seguida, o determinante é calculado e verifica-se se é zero ou não.

Após a realização de todos os cálculos, conclui-se que são coplanares.

- Exercício 3

Existem duas linhas no espaço. Um deles é a linha (R) cuja equação paramétrica é:

E a outra é a linha (S) cuja equação é:

Mostre que (R) e (S) são linhas coplanares, ou seja, estão no mesmo plano.

Solução

Vamos começar tomando arbitrariamente dois pontos na linha (R) e dois na linha (S):

Linha (R): λ = 0; A (1, 1, 1) e λ = 1; B (3, 0, 1)

Seja x = 0 na linha (S) => y = ½; C (0, ½, -1). E por outro lado, se fizermos y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Ou seja, tomamos os pontos A e B que pertencem à linha (R) e os pontos C e D que pertencem à linha (S). Se esses pontos forem coplanares, as duas linhas também o serão.

Agora escolhemos o ponto A como o pivô e então encontramos as coordenadas dos vetores AB, AC e AD. Desta forma, você obtém:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

O próximo passo é construir e calcular o determinante cuja primeira linha são os coeficientes do vetor AB, a segunda linha são os do vetor AC e a terceira linha os do vetor AD:

Como o determinante acaba sendo nulo, podemos concluir que os quatro pontos são coplanares. Adicionalmente, pode-se afirmar que as linhas (R) e (S) também são coplanares.

- Exercício 4

As retas (R) e (S) são coplanares, como demonstrado no Exercício 3. Encontre a equação do plano que as contém.

Solução

Os pontos A, B, C definem completamente esse plano, mas queremos impor que qualquer ponto X de coordenadas (x, y, z) pertence a ele.

Para que X pertença ao plano definido por A, B, C e no qual as retas (R) e (S) estão contidas, é necessário que o determinante formado em sua primeira linha pelos componentes de AX, na segunda linha pelos da AB e no terceiro pelos da AC:

Seguindo este resultado, agrupamos desta forma:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

E imediatamente você vê que pode ser reescrito assim:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Portanto, x + 2y - z = 2 é a equação do plano que contém as retas (R) e (S).

Referências

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Linear Algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Flat Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vetores. Recuperado de: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Pré-cálculo. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Basic Concepts of Geometry. Rowman e Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.