- Velocidade linear em movimento circular
- Velocidade linear, velocidade angular e aceleração centrípeta
- Aceleração centrípeta
- - Resolvido o exercício 1
- Solução
- - Exercício 2 resolvido
- Solução
- Referências
A velocidade linear é definida como aquela que é sempre tangencial ao caminho percorrido pela partícula, independente de sua forma. Se a partícula sempre se move em um caminho retilíneo, não há problema em imaginar como o vetor velocidade segue essa linha reta.
No entanto, em geral o movimento é realizado em uma curva de formato arbitrário. Cada parte da curva pode ser modelada como se fizesse parte de um círculo de raio a, que em cada ponto é tangente ao caminho percorrido.
Figura 1. Velocidade linear em um móbile que descreve uma trajetória curvilínea. Fonte: self made.
Nesse caso, a velocidade linear está acompanhando a curva tangencialmente e em todos os momentos em cada ponto dela.
Matematicamente, a velocidade linear instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Seja r o vetor posição da partícula em um instante t, então a velocidade linear é dada pela expressão:
v = r '(t) = d r / dt
Isso significa que a velocidade linear ou velocidade tangencial, como também é freqüentemente chamada, nada mais é do que a mudança de posição em relação ao tempo.
Velocidade linear em movimento circular
Quando o movimento é em uma circunferência, podemos ir ao lado da partícula em cada ponto e ver o que acontece em duas direções muito especiais: uma delas é aquela que sempre aponta para o centro. Esta é a direção radial.
A outra direção importante é aquela que passa na circunferência, essa é a direção tangencial e a velocidade linear sempre a tem.
Figura 2. Movimento circular uniforme: o vetor velocidade muda de direção e sentido conforme a partícula gira, mas sua magnitude é a mesma. Fonte: Original do usuário: Brews_ohare, SVGed pelo usuário: Sjlegg.
No caso do movimento circular uniforme, é importante perceber que a velocidade não é constante, uma vez que o vetor muda sua direção conforme a partícula gira, mas seu módulo (o tamanho do vetor), que é a velocidade, sim, permanece inalterado.
Para este movimento, a posição em função do tempo é dada por s (t), onde s é o arco percorrido e t é o tempo. Neste caso, a velocidade instantânea é dada pela expressão v = ds / dt e é constante.
Se a magnitude da velocidade também varia (já sabemos que a direção sempre varia, caso contrário o móvel não poderia virar), estamos diante de um movimento circular variado, durante o qual o móvel, além de girar, pode frear ou acelerar.
Velocidade linear, velocidade angular e aceleração centrípeta
O movimento da partícula também pode ser visto do ponto de vista do ângulo de varredura, ao invés do arco percorrido. Neste caso, falamos da velocidade angular. Para um movimento sobre um círculo de raio R, há uma relação entre o arco (em radianos) e o ângulo:
Derivando em relação ao tempo em ambos os lados:
Chamando a derivada de θ em relação a t como velocidade angular e denotando-a com a letra grega ω "ômega", temos esta relação:
Aceleração centrípeta
Todo movimento circular tem aceleração centrípeta, que é sempre direcionada para o centro da circunferência. Ela garante que a velocidade muda para se mover com a partícula enquanto ela gira.
A aceleração centrípeta para c ou para R sempre aponta para o centro (ver figura 2) e está relacionada com a velocidade linear da seguinte maneira:
a c = v 2 / R
E com a velocidade angular como:
Para um movimento circular uniforme, a posição s (t) tem a forma:
Além disso, o movimento circular variado deve ter um componente de aceleração denominado aceleração tangencial em T, que trata da mudança da magnitude da velocidade linear. Se um T for constante, a posição é:
Com v o como velocidade inicial.
Figura 3. Movimento circular não uniforme. Fonte: Nonuniform_circular_motion.PNG: Brews oharederivative work: Jonas De Kooning.
Problemas resolvidos de velocidade linear
Os exercícios resolvidos ajudam a esclarecer o uso adequado dos conceitos e equações dados acima.
- Resolvido o exercício 1
Um inseto se move em um semicírculo de raio R = 2 m, partindo do repouso no ponto A enquanto aumenta sua velocidade linear, a uma taxa de pm / s 2. Encontre: a) Depois de quanto tempo ele atinge o ponto B, b) O vetor de velocidade linear naquele instante, c) O vetor de aceleração naquele instante.
Figura 4. Um inseto parte de A e chega a B em um caminho semicircular. Tem velocidade linear. Fonte: self made.
Solução
a) A afirmação indica que a aceleração tangencial é constante e é igual a π m / s 2, então é válido usar a equação para movimento uniformemente variado:
Com s o = 0 e v o = 0:
b) v (t) = v ou + para T. t = 2π m / s
Quando no ponto B, o vetor de velocidade linear aponta na direção vertical para baixo na direção (- y):
v (t) = 2π m / s (- y)
c) Já temos a aceleração tangencial, falta a aceleração centrípeta para ter o vetor velocidade a:
a = a c (- x) + a T (- y) = 2π 2 (- x) + π (- y) m / s 2
- Exercício 2 resolvido
Uma partícula gira em um círculo de raio 2,90 m. Em um determinado instante, sua aceleração é de 1,05 m / s 2 em uma direção tal que forma 32º com sua direção de movimento. Encontre sua velocidade linear em: a) Neste momento, b) 2 segundos depois, assumindo que a aceleração tangencial é constante.
Solução
a) A direção do movimento é precisamente a direção tangencial:
em T = 1,05 m / s 2. cos 32º = 0,89 m / s 2; a C = 1,05 m / s 2. sen 32º = 0,56 m / s 2
A velocidade é resolvida a partir de a c = v 2 / R como:
b) A seguinte equação é válida para movimento uniformemente variado: v = v o + a T t = 1,27 + 0,89, 2 2 m / s = 4,83 m / s
Referências
- Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 84-88.
- Figueroa, D. Série de Física para Ciências e Engenharia. Volume 3. Edição. Cinemática. 199-232.
- Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 ª.. Ed Prentice Hall. 62-64.
- Movimento relativo. Recuperado de:ourses.lumenlearning.com
- Wilson, J. 2011. Physics 10. Pearson Education. 166-168.