O QUE SÃO TRIÂNGULOS OBLÍQUOS? (COM EXERCÍCIOS) - MATEMÁTICAS - 2025

Os triângulos oblíquos são aqueles triângulos que não são retângulos. Em outras palavras, os triângulos de forma que nenhum de seus ângulos seja um ângulo reto (sua medida é 90º).

Uma vez que eles não têm ângulos retos, o teorema de Pitágoras não pode ser aplicado a esses triângulos.

Portanto, para conhecer os dados em um triângulo oblíquo é necessário usar outras fórmulas.

As fórmulas necessárias para resolver um triângulo oblíquo são as chamadas leis dos senos e cossenos, que serão descritas mais tarde.

Além dessas leis, o fato de a soma dos ângulos internos de um triângulo ser igual a 180º pode sempre ser utilizado.

Triângulos Oblíquos

Como afirmado no início, um triângulo oblíquo é um triângulo tal que nenhum de seus ângulos mede 90º.

O problema de encontrar os comprimentos dos lados de um triângulo oblíquo, bem como encontrar as medidas de seus ângulos, é chamado de "resolução de triângulos oblíquos".

Um fato importante ao trabalhar com triângulos é que a soma dos três ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Este é um resultado geral, portanto, para triângulos oblíquos também pode ser aplicado.

Leis de senos e cossenos

Dado um triângulo ABC com lados de comprimento "a", "b" e "c":

- A lei dos senos afirma que a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), onde A, B e C são os ângulos opostos a «a», «b» e «c "Respectivamente.

- A lei dos cossenos afirma que: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). De forma equivalente, as seguintes fórmulas podem ser usadas:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) ou a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Usando essas fórmulas, os dados para um triângulo oblíquo podem ser calculados.

Exercícios

Abaixo estão alguns exercícios onde os dados ausentes dos triângulos dados devem ser encontrados, com base em certos dados fornecidos.

Primeiro exercício

Dado um triângulo ABC tal que A = 45º, B = 60º e a = 12cm, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Usando isso a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º temos que

C = 180º-45º-60º = 75º.

Os três ângulos já são conhecidos. A lei dos senos é então usada para calcular os dois lados ausentes.

As equações que surgem são 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Da primeira igualdade, podemos resolver para «b» e obter que

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696 cm.

Podemos também resolver para «c» e obter que

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

Segundo Exercício

Dado o triângulo ABC tal que A = 60º, C = 75º eb = 10cm, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Como no exercício anterior, B = 180º-60º-75º = 45º. Além disso, usando a lei dos senos temos que a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), de onde se obtém que a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm ec = 10 * sen (75º) / sen (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Terceiro Exercício

Dado o triângulo ABC tal que a = 10cm, b = 15cm e C = 80º, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Neste exercício, apenas um ângulo é conhecido, portanto não pode ser iniciado como nos dois exercícios anteriores. Além disso, a lei dos senos não pode ser aplicada porque nenhuma equação pôde ser resolvida.

Portanto, passamos a aplicar a lei dos cossenos. É então que

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm, de modo que c ≈ 16,51 cm. Agora, conhecendo os 3 lados, a lei dos senos é usada e é obtido que

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / sin (80º).

Portanto, a resolução de B resulta em sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, o que implica que B ≈ 63,38º.

Agora, podemos obter que A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Quarto Exercício

Os lados de um triângulo oblíquo são a = 5cm, b = 3cm ec = 7cm. Encontre os ângulos do triângulo.

Solução

Novamente, a lei dos senos não pode ser aplicada diretamente, uma vez que nenhuma equação serviria para obter o valor dos ângulos.

Usando a lei do cosseno, temos que c² = a² + b² - 2ab cos (C), a partir do qual, ao resolver, temos que cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 e, portanto, C = 120º.

Agora, se a lei dos senos pode ser aplicada e assim obter 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), a partir do qual podemos resolver para B e obter que sin (B) = 3 * sen (120º) / 7 = 0,371, de modo que B = 21,79º.

Finalmente, o último ângulo é calculado usando que A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Referências

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (ed. Reimpressão). Progresso.
2. Leake, D. (2006). Triângulos (edição ilustrada). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrias. Tecnologia CR.
5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.