SIMETRIA CENTRAL: PROPRIEDADES, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

Dois pontos A e A 'têm simetria central em relação a um ponto O quando o segmento AA' passa por ele e é também o ponto médio de AA '. O ponto O é chamado de centro de simetria.

A simétrica central de um triângulo ABC em relação a um ponto O, é outro triângulo A'B'C 'que possui as seguintes características:

-Os segmentos homólogos são de igual comprimento

-Os ângulos correspondentes têm a mesma medida.

Figura 1. Triângulo ABC e seu A'B'C 'simétrico. Fonte: F. Zapata.

A Figura 1 mostra um triângulo ABC (vermelho) e sua simetria central A'B'C '(verde), em relação ao centro de simetria O.

Nessa mesma figura, um observador atento perceberia que o mesmo resultado é obtido aplicando-se uma rotação do triângulo original, desde que esteja 180º e centrado em O.

Portanto, uma simetria central é equivalente a uma volta de 180º em relação ao centro de simetria.

Propriedades de simetria central

Uma simetria central tem as seguintes propriedades:

-O centro de simetria é o ponto médio do segmento que une um ponto com sua simetria.

-Um ponto simétrico de outro que está localizado no centro de simetria, coincide com o centro de simetria.

-A simétrica central de um triângulo é um triângulo congruente (igual) ao original.

-A imagem por simetria central de um círculo é outro círculo de raio igual.

-A circunferência tem simetria central em relação ao seu próprio centro.

Figura 2. Desenho com simetria central. Fonte: Pixabay.

-A elipse tem simetria central em relação ao seu centro.

-Um segmento tem simetria central em relação ao seu ponto médio.

-O triângulo equilátero não tem simetria central em relação ao seu centro, porque a sua simetria, embora congruente com a primeira, dá um triângulo equilátero rodado.

-Os quadrados têm simetria central em relação ao seu centro.

-Um pentágono carece de simetria central em relação ao seu centro.

-Os polígonos regulares têm simetria central quando têm um número par de lados.

Exemplos

Os critérios de simetria têm muitas aplicações em ciência e engenharia. A simetria central está presente na natureza, por exemplo, cristais de gelo e teias de aranha têm esse tipo de simetria.

Além disso, muitos problemas são facilmente resolvidos ao tirar proveito da existência de simetria central e outros tipos de simetria. Portanto, é conveniente identificar rapidamente quando isso ocorre.

Figura 3. Os cristais de gelo têm simetria central. Fonte: Pixabay.

Exemplo 1

Dado um ponto P de coordenadas (a, b), devemos encontrar as coordenadas de seu P 'simétrico em relação à origem O de coordenadas (0, 0).

A primeira coisa é construir o ponto P ', para o qual é desenhada uma linha que passa pela origem O e pelo ponto P. A equação desta linha é y = (b / a) x.

Agora vamos chamar (a ', b') as coordenadas do ponto simétrico P '. O ponto P 'deve estar na reta que passa por O e, portanto, é verdadeiro: b' = (b / a) a '. Além disso, a distância OP deve ser igual a OP ', que na forma analítica é escrita assim:

√ (a ² + b ²) = √ (a ' ² + b' ²)

O seguinte é substituir b '= na expressão anterior e elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade para eliminar a raiz quadrada: (a ² + b ²) =

Extraindo o fator comum e simplificando, obtemos que a ' ² = a ². Esta equação tem duas soluções reais: a '= + a ou a' = -a.

Para obter b ', usamos novamente b' = (b / a) a '. Se a solução positiva de a 'for substituída, chegamos a que b' = b. E quando a solução negativa é substituída, então b '= -b.

A solução positiva dá para P 'o mesmo ponto P, então ele é descartado. A solução negativa definitivamente fornece as coordenadas do ponto simétrico:

P ': (-a, -b)

Exemplo 2

É necessário mostrar que um segmento AB e seu A'B 'simétrico central têm o mesmo comprimento.

Começando com as coordenadas do ponto A, que são (Ax, Ay) e as do ponto B: (Bx, By), o comprimento do segmento AB é dado por:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (Por - Ay) ²)

Por analogia, o segmento simétrico A'B 'terá comprimento dado por:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Por' - Ay ') ²)

As coordenadas do ponto simétrico A 'são Ax' = -Ax e Ay '= -Ay. Da mesma forma, aqueles de B 'são Bx' = -Bx e Por '= -By. Se essas coordenadas forem substituídas na equação da distância d (A'B ') temos:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ²) que é equivalente a:

√ ((Bx - Ax) ² + (Por - Ay) ²) = d (AB)

Mostra-se assim que ambos os segmentos têm o mesmo comprimento.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Mostre analiticamente que o O simétrico central de um círculo de raio R e centro O é o mesmo círculo original.

Solução

A equação de um círculo com raio R e centro O (0,0) é:

x ² + y ² = R ² (Equação da circunferência C)

Se em cada ponto P da circunferência y de coordenadas (x, y) seu P 'simétrico de coordenadas (x', y ') for encontrado, a equação da circunferência simétrica é:

x ' ² + y' ² = R ² (Equação do círculo simétrico C ')

Agora nos referimos ao resultado do exemplo 1, no qual se conclui que as coordenadas de um ponto P ', simétricas a P e com coordenadas (a, b), são (-a, -b).

Mas, neste exercício, o ponto P possui coordenadas (x, y), então seu P 'simétrico terá coordenadas x' = -xe y '= -y. Substituindo isso na equação do círculo simétrico, temos:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

O que é equivalente a: x ² + y ² = R ², concluindo que a simétrica central de um círculo em relação ao seu centro é o próprio círculo.

- Exercício 2

Mostre de forma geométrica que a simetria central preserva os ângulos.

Solução

Figura 4. Construção dos pontos simétricos para o exercício 2. Fonte: F. Zapata.

Existem três pontos A, B e C no avião. Suas simétricas A ', B' e C 'são construídas em relação ao centro de simetria O, conforme mostrado na figura 4.

Agora devemos mostrar que o ângulo ∡ABC = β tem a mesma medida que o ângulo ∡A'B'C '= β'.

Como C e C 'são simétricos, OC = OC'. Da mesma forma, OB = OB 'e OA = OA'. Por outro lado, o ângulo ∡BOC = ∡B'OC 'porque são opostos pelo vértice.

Portanto, os triângulos BOC e B'OC 'são congruentes porque têm um ângulo igual entre dois lados iguais.

Visto que BOC é congruente com B'OC ', então os ângulos γ e γ' são iguais. Mas esses ângulos, além de cumprir γ = γ ', são alternos internos entre as linhas BC e B'C', o que implica que a linha BC é paralela a B'C '.

Similarmente, BOA é congruente com B'OA ', de onde segue que α = α'. Mas α e α 'são ângulos interiores alternados entre as linhas BA e B'A', dos quais se conclui que a linha BA é paralela a B'A '.

Como o ângulo ∡ABC = β tem seus lados paralelos ao ângulo ∡A'B'C '= β' e ambos são agudos, conclui-se que:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Provando desta forma, que a simetria central conserva a medida dos ângulos.

Referências

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Cultural da América Central.
2. Leis e fórmulas matemáticas. Sistemas de medição de ângulo. Recuperado de: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperado de: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Simetria central. Recuperado de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Esteira. Recuperado de: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Ângulos internos e externos do conjugado. Recuperado de: lifeder.com