A soma de Riemann é o nome dado ao cálculo aproximado de uma integral definida, por meio de uma soma discreta com um número finito de termos. Uma aplicação comum é a aproximação da área de funções em um gráfico.

Foi o matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) quem primeiro ofereceu uma definição rigorosa da integral de uma função em um determinado intervalo. Ele tornou isso conhecido em um artigo publicado em 1854.

Figura 1. A soma de Riemann é definida em uma função f e em uma partição no intervalo. Fonte: Fanny Zapata.

A soma de Riemann é definida em uma função y = f (x), com x pertencendo ao intervalo fechado. Neste intervalo, uma partição P de n elementos é feita:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Isso significa que o intervalo é dividido da seguinte forma:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

A Figura 1 mostra graficamente a soma de Riemann da função f no intervalo em uma partição de quatro subintervalos, os retângulos cinza.

A soma representa a área total dos retângulos e o resultado dessa soma aproxima numericamente a área sob a curva f, entre a abscissa x = x ₀ ex = x ₄.

Obviamente, a aproximação da área sob a curva melhora muito à medida que o número n de partições é maior. Dessa forma, a soma converge para a área sob a curva, quando o número n de partições tende para o infinito.

Fórmulas e propriedades

A soma de Riemann da função f (x) na partição:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Definido ao longo do intervalo, é dado por:

S (P, f) = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

Onde t _k é um valor no intervalo. Na soma de Riemann, intervalos regulares de largura Δx = (b - a) / n são normalmente usados, onde aeb são os valores mínimo e máximo da abcissa, enquanto n é o número de subdivisões.

Nesse caso, a soma certa de Riemann é:

Sd (f, n) = * Δx

Figura 2. Soma certa de Riemann. Fonte: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Enquanto a soma esquerda de Riemann é expressa como:

Se (f, n) = * Δx

Figura 3. Soma de Riemann à esquerda. Fonte: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Finalmente, a soma central de Riemann é:

Sc (f, n) = * Δx

Figura 4. Soma de Riemann intermediária. Fonte: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Dependendo de onde o ponto t _k está localizado no intervalo, a soma de Riemann pode superestimar ou subestimar o valor exato da área sob a curva da função y = f (x). Em outras palavras, os retângulos podem se projetar da curva ou ficar um pouco abaixo dela.

A área sob a curva

A principal propriedade da soma de Riemann e da qual deriva sua importância, é que se o número de subdivisões tende ao infinito, o resultado da soma converge para a integral definida da função:

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Calcule o valor da integral definida entre a = -2 a b = +2 da função:

f (x) = x ²

Faça uso de uma soma de Riemann. Para fazer isso, primeiro encontre a soma para n partições regulares do intervalo e, em seguida, tome o limite matemático para o caso em que o número de partições tende ao infinito.

Solução

Estas são as etapas a seguir:

- Em primeiro lugar, o intervalo de partição é definido como:

Δx = (b - a) / n.

- Então, a soma de Riemann à direita correspondente à função f (x) se parece com isto:

-E então é cuidadosamente substituído na soma:

-O próximo passo é separar as somas e tomar as quantidades constantes como um fator comum de cada soma. É necessário levar em consideração que o índice é i, portanto os números e termos com n são considerados constantes:

-Cada soma é avaliada, pois para cada uma delas existem expressões adequadas. Por exemplo, a primeira das somas dá n:

-Finalmente, a integral a ser calculada é:

O leitor pode verificar que este é o resultado exato, que pode ser obtido resolvendo a integral indefinida e avaliando os limites de integração pela regra de Barrow.

- Exercício 2

Determine aproximadamente a área sob a função:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2 /2)}

Insira x = -1 e x = + 1, usando uma soma de Riemann central com 10 partições. Compare com o resultado exato e estime a diferença percentual.

Solução

O passo ou incremento entre dois valores discretos sucessivos é:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Portanto, a partição P na qual os retângulos são definidos se parece com isto:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}

Mas como o que se deseja é a soma central, a função f (x) será avaliada nos pontos médios dos subintervalos, ou seja, no conjunto:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

A soma de Riemann (central) é assim:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Como a função f é simétrica, é possível reduzir a soma para apenas 5 termos e o resultado é multiplicado por dois:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683

A função dada neste exemplo não é outra senão o conhecido sino Gaussiano (normalizado, com média igual a zero e desvio padrão um). A área sob a curva no intervalo para esta função é conhecida como 0,6827.

Figura 5. Área sob um sino gaussiano aproximada por uma soma de Riemann. Fonte: F. Zapata.

Isso significa que a solução aproximada com apenas 10 termos corresponde à solução exata para três casas decimais. O erro percentual entre o integral aproximado e exato é de 0,07%.

Referências

1. Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Cálculo integral (edição ilustrada). Madrid: Editorial ESIC.
2. Unican. História do conceito de integral. Recuperado de: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann soma. Recuperado de: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Soma de Riemann. Recuperado de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Integração de Riemann. Recuperado de: es.wikipedia.com