- Demonstração
- Como isso é resolvido?
- Decomposição em frações simples
- História
- Exercícios
- Exercício 1
- Exercício 2
- Referências
A soma telescópica é uma série numérica de operações de ramificação. Trata-se da soma de elementos de um valor inicial a “n” de expressões cujo argumento obedece a qualquer um dos seguintes padrões:
(F x - F x + 1); (F x + 1 - F x)
Como também:
Fonte: Pixabay.com
Eles representam um somatório de elementos que, quando desenvolvidos, estão sujeitos a cancelamentos de termos opostos. Tornando possível definir a seguinte igualdade para soma telescópica:
Seu nome vem da relação com o surgimento de um telescópio clássico, que podia ser dobrado e desdobrado, mudando notavelmente de dimensão. Da mesma forma, as somas telescópicas, de natureza infinita, podem ser resumidas na expressão simplificada:
F 1 - F n + 1
Demonstração
Ao desenvolver a soma de termos, a eliminação de fatores é bastante óbvia. Onde, para cada um dos casos, elementos opostos aparecerão na próxima iteração.
O primeiro caso, (F x - F x + 1), será tomado como exemplo, pois o processo funciona de forma homóloga para (F x + 1 - F x).
Desenvolvendo os 3 primeiros valores {1, 2, 3} a tendência de simplificação é observada
X 1 (F 1 - F 1 + 1) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1) = F 3 - F 4
Onde ao expressar a soma dos elementos descritos:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Observa-se que os termos F 2 e F 3 são descritos em conjunto com seus opostos, o que torna sua simplificação inevitável. Da mesma forma, observa-se que os termos F 1 e F 4 são mantidos.
Se a soma foi feita de x = 1 a x = 3, significa que o elemento F 4 corresponde ao termo genérico F n + 1.
Demonstrando assim a igualdade:
Como isso é resolvido?
O objetivo dos somatórios telescópicos é facilitar o trabalho, de forma que não seja necessário desenvolver um número infinito de termos, ou simplificar alguma cadeia de adendos muito longa.
Para sua resolução será necessário apenas avaliar os termos F 1 e F n + 1. Essas substituições simples constituem o resultado final da soma.
A totalidade dos termos não será expressa, sendo necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.
O importante é perceber a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nestes casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum.
O método de fatoração característico em adições telescópicas é o de frações simples. Isso ocorre quando uma fração original é decomposta em uma soma de várias frações, onde o padrão telescópico (F x - F x + 1) ou (F x + 1 - F x) pode ser observado.
Decomposição em frações simples
Para verificar a convergência de séries numéricas, é muito comum transformar expressões racionais com o método da fração simples. O objetivo é modelar o gráfico na forma de um somatório telescópico.
Por exemplo, a seguinte igualdade representa uma decomposição em frações simples:
Ao desenvolver a série numérica e aplicar as propriedades correspondentes, a expressão assume a seguinte forma:
Onde a forma telescópica é apreciada (F x - F x + 1).
O procedimento é bastante intuitivo e consiste em encontrar os valores do numerador que, sem quebrar a igualdade, permitem separar os produtos que estão no denominador. As equações que surgem na determinação destes valores, são levantadas de acordo com comparações entre os dois lados da igualdade.
Esse procedimento é observado passo a passo no desenvolvimento do exercício 2.
História
É bastante incerto poder definir o momento histórico em que os somatórios telescópicos foram apresentados. No entanto, sua implementação começa a ser observada no século XVII, nos estudos de séries numéricas realizados por Leibniz e Huygens.
Ambos os matemáticos, explorando as somas de números triangulares, começam a perceber tendências na convergência de certas séries de elementos sucessivos. Mas ainda mais interessante é o início da modelagem dessas expressões, em elementos que não necessariamente se sucedem.
Na verdade, a expressão usada anteriormente para se referir a frações simples:
Foi apresentado por Huygens e imediatamente chamou a atenção de Leibniz. Quem com o tempo pôde observar a convergência para o valor 2. Sem saber, implementou o formato de soma telescópica.
Exercícios
Exercício 1
Defina para qual termo a seguinte soma converge:
Ao desenvolver manualmente a soma, o seguinte padrão é observado:
(2 3 - 2 4) + (2 4 - 2 5) + (2 5 - 2 6)…. (2 10 - 2 11)
Onde os fatores de 2 4 a 2 10 apresentam partes positivas e negativas, evidenciando seu cancelamento. Então, os únicos fatores que não serão simplificados serão os primeiros “2 3 ” e os últimos “2 11 ”.
Desta forma, ao implementar o critério de soma telescópica, obtém-se o seguinte:
Exercício 2
Transforme o argumento em um somatório de tipo telescópico e defina a convergência da série:
Conforme indicado no depoimento, a primeira coisa a fazer é decompor em frações simples, a fim de reafirmar o argumento e expressá-lo de forma telescópica.
Deve-se encontrar 2 frações cujos denominadores sejam respectivamente "n" e "n + 1", onde o método utilizado a seguir deve obter os valores do numerador que satisfaçam a igualdade.
Prosseguimos para definir os valores de A e B. Primeiro, adicione as frações.
Em seguida, os denominadores são simplificados e uma equação linear é estabelecida.
Na próxima etapa, a expressão à direita é operada, até que um padrão comparável ao “3” à esquerda seja alcançado.
Para definir as equações a serem utilizadas, os resultados de ambos os lados da igualdade devem ser comparados. Ou seja, nenhum valor da variável n é observado do lado esquerdo, dessa forma A + B terá que ser igual a zero.
A + B = 0; A = -B
Por outro lado, o valor constante A terá que ser igual ao valor constante 3.
A = 3
Portanto.
A = 3 e B = -3
Uma vez que os valores do numerador para as frações simples já estão definidos, o somatório é refeito.
Onde a forma genérica de soma telescópica já foi alcançada. A série telescópica é desenvolvida.
Onde ao dividir por um número muito grande o resultado ficará cada vez mais próximo de zero, observando a convergência da série para o valor 3.
Este tipo de série não poderia ser resolvido de outra forma, devido ao número infinito de iterações que definem o problema. No entanto, este método, a par de tantos outros, enquadra o ramo do estudo das séries numéricas, cujo objectivo é determinar os valores de convergência ou definir a divergência dessas séries.
Referências
- Aulas de cálculo infinitesimal. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- Cálculo Integral: Sequências e Séries de Funções. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 de outubro. 2014.
- Um curso de cálculo e análise real. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 de junho. 2006.
- Série infinita. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
- Elementos da Teoria dos Processos Infinitos. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.