O teorema de Bernoulli, que descreve o comportamento de um fluido em movimento, foi enunciado pelo matemático e físico Daniel Bernoulli em sua obra Hydrodynamics. De acordo com o princípio, um fluido ideal (sem atrito ou viscosidade) que esteja circulando por um conduto fechado, terá uma energia constante em seu caminho.
O teorema pode ser deduzido do princípio da conservação da energia e até mesmo da segunda lei do movimento de Newton. Além disso, o princípio de Bernoulli também estabelece que um aumento na velocidade de um fluido implica uma diminuição da pressão a que está sujeito, uma diminuição de sua energia potencial, ou ambos ao mesmo tempo.
Daniel Bernoulli
O teorema tem muitas aplicações diferentes, tanto no mundo da ciência como na vida diária das pessoas.
Suas consequências estão presentes na força de sustentação de aeronaves, nas chaminés de residências e indústrias, nas tubulações de água, entre outras áreas.
Equação de Bernoulli
Embora Bernoulli tenha deduzido que a pressão diminui quando a velocidade do fluxo aumenta, a verdade é que foi Leonhard Euler quem realmente desenvolveu a equação de Bernoulli na forma em que é conhecida hoje.
Em qualquer caso, a equação de Bernoulli, que nada mais é do que a expressão matemática de seu teorema, é a seguinte:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = constante
Nesta expressão, v é a velocidade do fluido através da seção considerada, ƿ é a densidade do fluido, P é a pressão do fluido, g é o valor da aceleração da gravidade e z é a altura medida na direção de gravidade.
Está implícito na equação de Bernoulli que a energia de um fluido consiste em três componentes:
- Um componente cinético, que é aquele que resulta da velocidade com que o fluido se move.
- Um componente potencial ou gravitacional, que é devido à altura em que o fluido está.
- Uma energia de pressão, que é aquela que o fluido possui em consequência da pressão a que está sujeito.
Por outro lado, a equação de Bernoulli também pode ser expressa assim:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Esta última expressão é muito prática para analisar as mudanças que um fluido experimenta quando algum dos elementos que compõem a equação muda.
Formulário simplificado
Em certas ocasiões, a mudança no termo ρgz da equação de Bernoulli é mínima em comparação com aquela experimentada pelos outros termos, portanto, pode ser negligenciada. Por exemplo, isso acontece em correntes experimentadas por um avião em vôo.
Nessas ocasiões, a equação de Bernoulli é expressa da seguinte forma:
P + q = P 0
Nessa expressão, q é a pressão dinâmica e é equivalente av 2 ∙ ƿ / 2, e P 0 é o que se denomina pressão total e é a soma da pressão estática P e da pressão dinâmica q.
Formulários
O teorema de Bernoulli tem muitas e diversas aplicações em campos tão diversos como ciência, engenharia, esportes, etc.
Uma aplicação interessante é encontrada no design de lareiras. As chaminés são construídas em altura de modo a conseguir uma maior diferença de pressão entre o fundo e a saída da chaminé, graças à qual é mais fácil extrair os gases de combustão.
Claro, a equação de Bernoulli também se aplica ao estudo do movimento dos fluxos de líquidos em tubos. Conclui-se da equação que uma redução na área da seção transversal do tubo, a fim de aumentar a velocidade do fluido que passa por ele, também implica uma diminuição da pressão.
A equação de Bernoulli também é usada na aviação e em veículos de Fórmula 1. No caso da aviação, o efeito Bernoulli é a origem da sustentação dos aviões.
As asas da aeronave são projetadas com o objetivo de obter maior fluxo de ar no topo da asa.
Assim, na parte superior da asa, a velocidade do ar é alta e, portanto, a pressão é menor. Essa diferença de pressão produz uma força vertical para cima (força de sustentação) que permite que a aeronave permaneça no ar. Um efeito semelhante é obtido nos ailerons dos carros de Fórmula 1.
Exercício resolvido
Um curso de água flui a 5,18 m / s através de um tubo com seção transversal de 4,2 cm 2. A água desce de uma altura de 9,66 m para um nível inferior com uma altura de cota zero, enquanto a área da seção transversal do tubo aumenta para 7,6 cm 2.
a) Calcule a velocidade da corrente de água no nível inferior.
b) Determine a pressão no nível inferior sabendo que a pressão no nível superior é 152000 Pa.
Solução
a) Dado que o fluxo deve ser conservado, é verdade que:
Q nível superior = Q nível inferior
v 1. S 1 = v 2. S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2. 7,6 cm ^ 2
Resolvendo para, obtém-se que:
v 2 = 2,86 m / s
b) Aplicando o teorema de Bernoulli entre os dois níveis, e tendo em conta que a densidade da água é 1000 kg / m 3, obtém-se que:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3. (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3. (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 0 m
Resolvendo para P 2, obtemos:
P 2 = 257926,4 Pa
Referências
- Princípio de Bernoulli. (nd). Na Wikipedia. Obtido em 12 de maio de 2018 em es.wikipedia.org.
- Princípio de Bernoulli. (nd). Na Wikipedia. Obtido em 12 de maio de 2018 em en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). Uma introdução à dinâmica dos fluidos. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Hydrodynamics (6ª ed.). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Applied Fluid Mechanics (4ª ed.). México: Pearson Education.