O teorema de Lamy afirma que, quando um corpo rígido está em equilíbrio e a ação de três forças coplanares (forças no mesmo plano), suas linhas de ação se encontram em um mesmo ponto.
O teorema foi deduzido pelo físico e religioso francês Bernard Lamy e teve origem na lei dos senos. É muito utilizado para encontrar o valor de um ângulo, da linha de ação de uma força ou para formar o triângulo de forças.
Teorema de Lamy
O teorema afirma que, para que a condição de equilíbrio seja satisfeita, as forças devem ser coplanares; ou seja, a soma das forças exercidas em um ponto é zero.
Além disso, como pode ser visto na imagem a seguir, é verdade que, prolongando as linhas de ação dessas três forças, elas convergem no mesmo ponto.
Desse modo, se três forças que estão no mesmo plano e são concorrentes, a magnitude de cada força será proporcional ao seno do ângulo oposto, que é formado pelas outras duas forças.
Assim, temos que T1, partindo do seno de α, é igual à razão de T2 / β, que por sua vez é igual à razão de T3 / Ɵ, ou seja:
Daí se segue que os módulos dessas três forças devem ser iguais se os ângulos que cada par de forças forma entre eles forem iguais a 120º.
Existe a possibilidade de que um dos ângulos seja obtuso (medida entre 90 0 e 180 0). Nesse caso, o seno desse ângulo será igual ao seno do ângulo suplementar (em seu par mede 180 0).
Exercício resolvido
Há um sistema formado por dois blocos J e K, que ficam pendurados em várias cordas em ângulos com a horizontal, conforme mostrado na figura. O sistema está em equilíbrio e o bloco J pesa 240 N. Determine o peso do bloco K.
Solução
Pelo princípio de ação e reação, as tensões exercidas nos blocos 1 e 2 serão iguais ao seu peso.
Agora, um diagrama de corpo livre é construído para cada bloco para determinar os ângulos que formam o sistema.
Sabe-se que o acorde que vai de A a B tem um ângulo de 30 0, de forma que o ângulo que o complementa é igual a 60 0. Assim, você chega a 90 0.
Por outro lado, onde se encontra o ponto A, existe um ângulo de 60 0 em relação à horizontal; o ângulo entre a vertical e T A será = 180 0 - 60 0 - 90 0 = 30 0.
Assim, obtemos que o ângulo entre AB e BC = (30 0 + 90 0 + 30 0) e (60 0 + 90 0 + 60) = 150 0 e 210 0. Quando adicionado, o ângulo total é 360 0.
Aplicando o teorema de Lamy, temos:
T BC / sen 150 0 = P A / sen 150 0
T BC = P A
T BC = 240N.
No ponto C, onde está o bloco, o ângulo entre a horizontal e a corda BC é 30 0, então o ângulo complementar é igual a 60 0.
Por outro lado, existe um ângulo de 60 0 no ponto CD; o ângulo entre a vertical e o TC será = 180 0 - 90 0 - 60 0 = 30 0.
Assim, obtemos que o ângulo no bloco K é = (30 0 + 60 0)
Aplicando o teorema de Lamy no ponto C:
T BC / sen 150 0 = B / sen 90 0
Q = T BC * sen 90 0 / sen 150 0
Q = 240 N * 1 / 0,5
Q = 480 N.
Referências
- Andersen, K. (2008). A geometria de uma arte: a história da teoria matemática da perspectiva de Alberti a Monge. Springer Science & Business Media.
- Ferdinand P. Beer, ER (2013). Mecânica para engenheiros, Estática. McGraw-Hill Interamericana.
- Francisco Español, JC (2015). Resolvidos problemas de álgebra linear. Ediciones Paraninfo, SA
- Graham, J. (2005). Força e movimento. Houghton Mifflin Harcourt.
- Harpe, P. d. (2000). Tópicos em Teoria Geométrica dos Grupos. University of Chicago Press.
- P. A Tipler e, GM (2005). Física para Ciência e Tecnologia. Volume I. Barcelona: Reverté SA