TEOREMA DE MOIVRE: PROVAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - MATEMÁTICAS - 2025

O teorema de Moivre aplicou processos fundamentais de álgebra, como poderes e extração de raízes em números complexos. O teorema foi afirmado pelo renomado matemático francês Abraham de Moivre (1730), que associou os números complexos à trigonometria.

Abraham Moivre fez essa associação por meio das expressões do seno e cosseno. Esse matemático gerou uma espécie de fórmula por meio da qual é possível elevar um número complexo z à potência n, que é um número inteiro positivo maior ou igual a 1.

Qual é o teorema de Moivre?

O teorema de Moivre afirma o seguinte:

Se tivermos um número complexo na forma polar z = r _Ɵ, onde r é o módulo do número complexo z, e o ângulo Ɵ é chamado de amplitude ou argumento de qualquer número complexo com 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular seu n– th power não será necessário multiplicá-lo por si mesmo n vezes; ou seja, não é necessário fazer o seguinte produto:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*… *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *… *} r _Ɵ n-vezes.

Pelo contrário, o teorema diz que, ao escrever z em sua forma trigonométrica, para calcular a enésima potência procedemos da seguinte forma:

Se z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), então z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Por exemplo, se n = 2, então z ² = r ². Se n = 3, então z ³ = z ² _* z. Além disso:

z ³ = r ² _* r = r ³.

Desta forma, as razões trigonométricas do seno e cosseno para múltiplos de um ângulo podem ser obtidas, desde que as razões trigonométricas do ângulo sejam conhecidas.

Da mesma forma, pode ser usado para encontrar expressões mais precisas e menos confusas para a enésima raiz de um número complexo z, de modo que z ⁿ = 1.

Para provar o teorema de Moivre, o princípio da indução matemática é usado: se um inteiro "a" tem uma propriedade "P", e se para qualquer inteiro "n" maior que "a" que tem a propriedade "P" Conclui-se que n + 1 também possui a propriedade "P", então todos os inteiros maiores ou iguais a "a" possuem a propriedade "P".

Demonstração

Assim, a prova do teorema é feita com as seguintes etapas:

Base indutiva

É primeiro verificado se há n = 1.

Dado que z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹, o teorema é válido para n = 1.

Hipótese indutiva

A fórmula é considerada verdadeira para algum número inteiro positivo, ou seja, n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Verificação

É provado ser verdadeiro para n = k + 1.

Dado que z ^{k + 1} = z ^k _* z, então z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Em seguida, as expressões são multiplicadas:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Por um momento, o fator r ^{k + 1} é ignorado e o fator comum i é considerado:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Como i ² = -1, nós o substituímos na expressão e obtemos:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Agora a parte real e a parte imaginária estão ordenadas:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Para simplificar a expressão, as identidades trigonométricas da soma dos ângulos são aplicadas para o cosseno e o seno, que são:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Nesse caso, as variáveis ​​são os ângulos Ɵ e kƟ. Aplicando as identidades trigonométricas, temos:

cos kƟ _* cosƟ - sen kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Desta forma, a expressão é:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Assim, pode-se mostrar que o resultado é verdadeiro para n = k + 1. Pelo princípio da indução matemática, conclui-se que o resultado é verdadeiro para todos os inteiros positivos; ou seja, n ≥ 1.

Inteiro negativo

O teorema de Moivre também é aplicado quando n ≤ 0. Consideremos um inteiro negativo «n»; então "n" pode ser escrito como "-m", ou seja, n = -m, onde "m" é um número inteiro positivo. Portanto:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Para obter o expoente «m» de forma positiva, a expressão é escrita inversamente:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Agora, é usado que se z = a + b * i for um número complexo, então 1 ÷ z = ab * i. Portanto:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Usando que cos (x) = cos (-x) e que -sen (x) = sin (-x), temos:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Assim, pode-se dizer que o teorema se aplica a todos os valores inteiros de "n".

Exercícios resolvidos

Cálculo de potências positivas

Uma das operações com números complexos em sua forma polar é a multiplicação por dois deles; nesse caso, os módulos são multiplicados e os argumentos são adicionados.

Se você tiver dois números complexos z _{1 e} z ₂ e quiser calcular (z ₁ * z ₂) ², proceda da seguinte forma:

z ₁ z ₂ = *

A propriedade distributiva se aplica:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂)

Eles são agrupados, tomando o termo "i" como um fator comum das expressões:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Como i ² = -1, ele é substituído na expressão:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Os termos reais são reagrupados com o real e o imaginário com o imaginário:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Finalmente, as propriedades trigonométricas se aplicam:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

Em conclusão:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

Exercício 1

Escreva o número complexo na forma polar se z = - 2 -2i. Então, usando o teorema de Moivre, calcule z ⁴.

Solução

O número complexo z = -2 -2i é expresso na forma retangular z = a + bi, onde:

a = -2.

b = -2.

Sabendo que a forma polar é z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), precisamos determinar o valor do módulo "r" e o valor do argumento "Ɵ". Uma vez que r = √ (a² + b²), os valores dados são substituídos:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Então, para determinar o valor de «Ɵ», a forma retangular deste é aplicada, que é dada pela fórmula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Uma vez que tan (Ɵ) = 1 e temos a <0, temos:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Como o valor de «r» e «Ɵ» já foi obtido, o número complexo z = -2 -2i pode ser expresso na forma polar, substituindo os valores:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Agora usamos o teorema de Moivre para calcular z ⁴:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Exercício 2

Encontre o produto dos números complexos expressando-o na forma polar:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sen 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sen 100 ^o).

Em seguida, calcule (z1 * z2) ².

Solução

Primeiro, o produto dos números dados é formado:

z ₁ z ₂ = *

Em seguida, os módulos são multiplicados entre si e os argumentos são adicionados:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

A expressão é simplificada:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sen 150 ^o).

Finalmente, o teorema de Moivre se aplica:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sen 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sen 300 ^o)).

Cálculo de potências negativas

Para dividir dois números complexos z _{1 e} z ₂ em sua forma polar, o módulo é dividido e os argumentos são subtraídos. Assim, o quociente é z ₁ ÷ z ₂ e é expresso da seguinte forma:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Como no caso anterior, se quisermos calcular (z1 ÷ z2) ³, a divisão é realizada primeiro e, em seguida, o teorema de Moivre é usado.

Exercício 3

Dados:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), calcule (z1 ÷ z2) ³.

Solução

Seguindo as etapas descritas acima, pode-se concluir que:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sen (3π / 2)).

Referências

1. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
2. Croucher, M. (nd). Do Teorema de Moivre para Identidades Trig. Projeto de Demonstrações Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, WL (1972). Álgebra e trigonometria.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (nd). Álgebra Linear. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.