TEOREMA DE NORTON: DESCRIÇÃO, APLICAÇÕES, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS - FISICA - 2025

O teorema da Norton, aplicado a circuitos eléctricos, define um circuito linear com dois terminais A e b, pode ser substituído por outro totalmente equivalente, que consiste de uma fonte de corrente I chamada _não ligado em paralelo com uma resistência R _n.

A referida corrente I _No ou I _N é aquela que fluiria entre os pontos a e b, se estivessem em curto-circuito. A resistência R _N é a resistência equivalente entre os terminais, quando todas as fontes independentes desligam. Tudo o que foi dito está delineado na Figura 1.

Figura 1. Circuito equivalente do Norton. Fonte: Wikimedia Commons. Drumkid

A caixa preta na figura contém o circuito linear a ser substituído por seu equivalente Norton. Um circuito linear é aquele em que a entrada e a saída têm uma dependência linear, como a relação entre a tensão V e a corrente contínua I em um elemento ôhmico: V = IR

Essa expressão corresponde à lei de Ohm, onde R é a resistência, que também pode ser uma impedância, se for um circuito de corrente alternada.

O teorema de Norton foi desenvolvido pelo engenheiro elétrico e inventor Edward L. Norton (1898-1983), que trabalhou por muito tempo para os Laboratórios Bell.

Aplicações do teorema de Norton

Quando você tem redes muito complicadas, com muitas resistências ou impedâncias e deseja calcular a tensão entre qualquer uma delas, ou a corrente que flui por ela, o teorema de Norton simplifica os cálculos, pois como vimos, a rede pode ser substituída por um circuito menor e mais gerenciável.

Desta forma, o teorema de Norton é muito importante ao projetar circuitos com múltiplos elementos, bem como para estudar a resposta deles.

Relação entre os teoremas de Norton e Thevenin

O teorema de Norton é o dual do teorema de Thevenin, o que significa que eles são equivalentes. O teorema de Thévenin afirma que a caixa preta na Figura 1 pode ser substituída por uma fonte de tensão em série com um resistor, chamado de resistor de Thévenin R _Th. Isso é expresso na seguinte figura:

Figura 2. Circuito original à esquerda e seus equivalentes Thévenin e Norton. Fonte: F. Zapata.

O circuito à esquerda é o circuito original, a rede linear na caixa preta, o circuito A no canto superior direito é o equivalente de Thevenin e o circuito B é o equivalente de Norton, conforme descrito. Visto dos terminais aeb, os três circuitos são equivalentes.

Agora observe que:

-No circuito original a tensão entre os terminais é V _ab.

-V _ab = V _Th no circuito A

-Finalmente, V _ab = I _N.R _N no circuito B

Se os terminais aeb estão em curto-circuito em todos os três circuitos, deve-se garantir que a tensão e a corrente entre esses pontos sejam iguais para todos os três, uma vez que são equivalentes. Assim:

-No circuito original a corrente é i.

-Para o circuito A, a corrente é i = V _Th / R _Th, de acordo com a lei de Ohm.

-Finalmente no circuito B, a corrente é I _N

Portanto, conclui-se que as resistências de Norton e Thevenin têm o mesmo valor, e que a corrente é dada por:

i = I _N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N

Exemplo

Para aplicar corretamente o teorema de Norton, as seguintes etapas são seguidas:

- Isole da rede a seção do circuito para a qual o equivalente Norton deve ser encontrado.

-No circuito restante, indique os terminais a e b.

-Substitua as fontes de tensão para curto-circuitos e as fontes de corrente para circuitos abertos, para encontrar a resistência equivalente entre os terminais a e b. Este é R _N.

-Retorne todas as fontes às suas posições originais, curto-circuite os terminais e encontre a corrente que circula entre eles. Este é I _N.

-Desenhe o circuito equivalente do Norton de acordo com o indicado na figura 1. A fonte de corrente e a resistência equivalente estão em paralelo.

O teorema de Thevenin também pode ser aplicado para encontrar R _Th, que já sabemos ser igual a R _N, então pela lei de Ohm podemos encontrar I _N e prosseguir para desenhar o circuito resultante.

E agora vamos ver um exemplo:

Encontre o equivalente Norton entre os pontos A e B do seguinte circuito:

Figura 3. Exemplo de circuito. Fonte: F. Zapata.

A parte do circuito cujo equivalente se encontra já está isolada. E os pontos A e B são claramente determinados. O seguinte é fazer um curto-circuito na fonte de 10 V e encontrar a resistência equivalente do circuito obtido:

Figura 4. Fonte em curto-circuito. Fonte: F. Zapata.

Visto dos terminais A e B, ambos os resistores R ₁ e R ₂ estão em paralelo, portanto:

1 / R _eq = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → R _eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω

Em seguida, a fonte está de volta no lugar e os pontos A e B estão em curto para encontrar a corrente que flui lá, isso vai I _N. Em tal caso:

Figura 5. Circuito para calcular a corrente de Norton. Fonte: F. Zapata.

I _N = 10 V / 4 Ω = 2,5 A

Equivalente Norton

Finalmente, o equivalente do Norton é desenhado com os valores encontrados:

Figura 6. Equivalente Norton do circuito da figura 3. Fonte: F. Zapata.

Exercício resolvido

No circuito da seguinte figura:

Figura 7. Circuito para o exercício resolvido. Fonte: Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3º Edição. Mc Graw Hill.

a) Encontre o circuito Norton equivalente da rede externa ao resistor azul.

b) Encontre também o equivalente Thévenin.

Solução para

Seguindo as etapas indicadas acima, a fonte deve ser curto-circuitada:

Figura 8. Fonte em curto-circuito no circuito da figura 7. Fonte: F. Zapata.

Cálculo RN

Visto dos terminais A e B, o resistor R ₃ está em série com o paralelo formado pelos resistores R ₁ e R ₂, vamos primeiro calcular a resistência equivalente deste paralelo:

E então esse paralelo está em série com R _3, então a resistência equivalente é:

Este é o valor de R _N e R _Th, conforme explicado anteriormente.

Cálculo IN

Os terminais A e B são então curto-circuitados, retornando a fonte ao seu lugar:

Figura 9. Circuitos para encontrar a corrente Norton. Fonte: F. Zapata.

A corrente através de I ₃ é a corrente I _N procurada, que pode ser determinada com o método da malha ou usando séries e paralelas. Neste circuito, R ₂ e R ₃ estão em paralelo:

O resistor R ₁ está em série com este paralelo, então:

A corrente que sai da fonte (cor azul) é calculada usando a lei de Ohm:

Essa corrente é dividida em duas partes: uma que passa por R ₂ e outra que passa por R ₃. Porém, a corrente que passa pelo paralelo R ₂₃ é a mesma que passa pelo R ₁, como pode ser visto no circuito intermediário na figura. A tensão lá é:

Ambos os resistores R ₂ e R ₃ estão nessa tensão, uma vez que estão em paralelo, portanto:

Já temos a corrente Norton buscada, pois como dito anteriormente I ₃ = I _N, então:

Equivalente Norton

Tudo está pronto para desenhar o equivalente Norton deste circuito entre os pontos A e B:

Figura 10. Equivalente Norton do circuito da figura 7. Fonte: F. Zapata.

Solução b

Encontrar o equivalente Thévenin é muito simples, uma vez que R _Th = R _N = 6 Ω e conforme explicado nas seções anteriores:

V _Th = I _N. R _N = 1 A. 6 Ω = 6 V

O circuito equivalente Thévenin é:

Figura 11. Equivalente de Thevenin do circuito da figura 7. Fonte: F. Zapata.

Referências

1. Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3º Edição. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introdução à Análise de Circuito. 2ª Edição. Pearson.
3. Dorf, R. 2006. Introdução aos circuitos elétricos. 7º. Edição. John Wiley & Sons.
4. Edminister, J. 1996. Electrical Circuits. Série Schaum. 3º Edição. Mc Graw Hill.
5. Wikipedia. Teorema de Norton. Recuperado de: es.wikipedia.org.