- Prova do teorema fundamental da aritmética
- Singularidade da fatoração principal
- Formulários
- Números primos na natureza
- Números primos e compras online
- Exercícios resolvidos
- - Exercício 1
- Solução
- - Exercício 2
- Solução
- Referências
O teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer número natural maior que 1 pode ser decomposto como um produto de números primos - alguns podem ser repetidos - e esta forma é única para aquele número, embora a ordem dos fatores possa ser diferente.
Lembre-se de que um número primo p é aquele que admite apenas a si mesmo e a 1 como divisores positivos. Os seguintes números são primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e assim por diante, já que há infinitos. O número 1 não é considerado primo, pois possui apenas um divisor.
Figura 1. Euclides (esquerda) provou o teorema fundamental da aritmética em seu livro Elementos (350 aC), e a primeira prova completa é devida a Carl F. Gauss (1777-1855) (direita). Fonte: Wikimedia Commons.
Por sua vez, os números que não obedecem ao anterior são chamados de números compostos, tais como 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Tomemos o número 10 por exemplo e imediatamente vemos que pode ser decomposto como produto de 2 e 5:
10 = 2 × 5
Ambos 2 e 5 são, efetivamente, números primos. O teorema afirma que isso é possível para qualquer número n:
Onde p 1, p 2, p 3 … p r são números primos e k 1, k 2, k 3,… k r são números naturais. Assim, os números primos atuam como os blocos de construção a partir dos quais, por meio da multiplicação, os números naturais são construídos.
Prova do teorema fundamental da aritmética
Começamos mostrando que todo número pode ser decomposto em fatores primos. Let Ser um número natural n> 1, primo ou composto.
Por exemplo, se n = 2, pode ser expresso como: 2 = 1 × 2, que é primo. Da mesma forma, proceda com os seguintes números:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Continuamos assim, decompondo todos os números naturais até chegarmos ao número n -1. Vamos ver se podemos fazer isso com o seguinte número: n.
Se n é primo, podemos decompô-lo como n = 1 × n, mas suponha que n seja composto e tenha um divisor d, logicamente menor que n:
1 <d <n.
Se n / d = p 1, com p 1 um número primo, então n é escrito como:
n = p 1.d
Se d é primo, não há mais nada a fazer, mas se não for, há um número n 2 que é um divisor de d e menor que este: n 2 <d, então d pode ser escrito como o produto de n 2 por outro número primo p 2:
d = p 2 n 2
Que ao substituir no número original n daria:
n = p 1.p 2.n 2
Agora suponha que n 2 também não seja um número primo e o escrevamos como o produto de um número primo p 3, por seu divisor n 3, de modo que n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3.n 3 → n = p 1 p 2 p 3.n 3
Repetimos este procedimento um número finito de vezes até obtermos:
n = p 1.p 2.p 3… p r
Isso significa que é possível decompor todos os números inteiros de 2 em n, como um produto de números primos.
Singularidade da fatoração principal
Agora, vamos verificar que, exceto pela ordem dos fatores, essa decomposição é única. Suponha que n possa ser escrito de duas maneiras:
n = p 1.p 2.p 3 … p r = q 1. q 2.q 3 …..q s (com r ≤ s)
É claro que q 1, q 2, q 3… também são números primos. Como p 1 divide (q 1. q 2.q 3 …..q s) então p 1 é igual a um dos “q”, não importa qual deles, então podemos dizer que p 1 = q 1. Dividimos n por p 1 e obtemos:
p 2.p 3 … p r = . q 2.q 3 …..q s
Repetimos o procedimento até dividir tudo por p r, então obtemos:
1 = q r + 1… q s
Mas não é possível chegar a q r + 1 … q s = 1 quando r <s, somente se r = s. Embora admitindo que r = s, também se admite que o "p" e o "q" são iguais. Portanto, a decomposição é única.
Formulários
Como já dissemos, os números primos representam, se quisermos, os átomos dos números, seus componentes básicos. Portanto, o teorema fundamental da aritmética tem inúmeras aplicações, a mais óbvia: podemos trabalhar mais facilmente com números grandes se os expressarmos como o produto de números menores.
Da mesma forma, podemos encontrar o máximo múltiplo comum (LCM) e o máximo divisor comum (GCF), um procedimento que nos ajuda a fazer adições de frações mais facilmente, encontrar raízes de grandes números, ou operar com radicais, racionalizar e resolver problemas de aplicação de natureza muito diversa.
Além disso, os números primos são extremamente enigmáticos. Um padrão ainda não foi reconhecido neles e não é possível saber qual será o próximo. O maior até agora foi encontrado por computadores e tem 24.862.048 dígitos, embora os novos números primos apareçam com menos frequência a cada vez.
Números primos na natureza
As cigarras, cicádidos ou cigarras que vivem no nordeste dos Estados Unidos surgem em ciclos de 13 ou 17 anos. Ambos são números primos.
Desta forma, as cigarras evitam coincidir com predadores ou competidores que tenham outras épocas de nascimento, nem as diferentes variedades de cigarras competem entre si, uma vez que não coincidem no mesmo ano.
Figura 2. A cigarra Magicicada do leste dos Estados Unidos surge a cada 13 a 17 anos. Fonte: Pxfuel.
Números primos e compras online
Os números primos são usados na criptografia para manter em segredo os detalhes do cartão de crédito ao fazer compras pela Internet. Desta forma, os dados de que o comprador chega à loja justamente sem se perder ou cair nas mãos de pessoas inescrupulosas.
Quão? Os dados nos cartões são codificados em um número N que pode ser expresso como o produto de números primos. Esses números primos são a chave que os dados revelam, mas são desconhecidos do público, só podem ser decodificados na web para a qual são direcionados.
Decompor um número em fatores é uma tarefa fácil se os números forem pequenos (veja os exercícios resolvidos), mas neste caso números primos de 100 dígitos são usados como chave, que ao multiplicá-los dão números muito maiores, cuja decomposição detalhada envolve uma tarefa enorme.
Exercícios resolvidos
- Exercício 1
Divida 1029 em fatores primos.
Solução
1029 é divisível por 3. É conhecido porque ao somar seus dígitos a soma é um múltiplo de 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Como a ordem dos fatores não altera o produto, podemos começar por aí:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Por outro lado, 343 = 7 3, então:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
E uma vez que 3 e 7 são números primos, esta é a decomposição de 1029.
- Exercício 2
Fatore o trinômio x 2 + 42x + 432.
Solução
O trinômio é reescrito na forma (x + a). (x + b) e precisamos encontrar os valores de a e b, de modo que:
a + b = 42; ab = 432
O número 432 é decomposto em fatores primos e, a partir daí, a combinação apropriada é escolhida por tentativa e erro de modo que os fatores adicionados forneçam 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
A partir daqui, existem várias possibilidades para escrever 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
E todos eles podem ser encontrados combinando produtos entre os fatores primos, mas para resolver o exercício proposto, a única combinação adequada é: 432 = 24 × 18 desde 24 + 18 = 42, então:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Referências
- Baldor, A. 1986. Aritmética prática teórica. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. O Código Oculto da Natureza. Recuperado de: bbc.com.
- De Leon, Manuel. Os números primos: os guardiões da Internet. Recuperado de: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Teoria dos Números I: Teorema Fundamental da Aritmética. Recuperado de: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. O teorema fundamental da aritmética. Recuperado de: es.wikipedia.org.