- História de tesselações
- Tesselações regulares
- Nomenclatura
- Exemplo 1: mosaico triangular
- Exemplo 2: mosaico quadrado
- Exemplo 3: mosaico hexagonal
- Tesselações semirregulares
- Exemplo 4: mosaico tri-hexagonal
- Exemplo 5: Tesselação hexagonal romba
- Exemplo 6: mosaico rombi-tri-hexagonal
- Tesselações irregulares
- Exemplo 7
- Exemplo 8
- Exemplo 9
- Exemplo 10: tesselação do Cairo
- Exemplo 11: Tesselação Al-Andalus
- Exemplo 12: mosaico em videogames
- Referências
As telhas são superfícies revestidas de uma ou mais figuras chamadas tesselas. Eles estão por toda parte: em ruas e edifícios de todos os tipos. Ladrilhos ou ladrilhos são peças planas, geralmente polígonos com cópias congruentes ou isométricas, que são colocadas seguindo um padrão regular. Desta forma, não ficam espaços descobertos e os ladrilhos ou mosaicos não se sobrepõem.
No caso em que um único tipo de mosaico formado por um polígono regular é usado, então há um mosaico regular, mas se dois ou mais tipos de polígonos regulares são usados, então é um mosaico semirregular.
Figura 1. Piso de ladrilho com mosaico irregular, pois os retângulos são polígonos não regulares, embora os quadrados sejam. Fonte: Pixabay.
Finalmente, quando os polígonos que a tesselação formam não são regulares, trata-se de uma tesselação irregular.
O tipo de mosaico mais comum é aquele formado por mosaicos retangulares e particularmente quadrados. Na figura 1, temos um bom exemplo.
História de tesselações
A tesselação tem sido usada há milhares de anos para cobrir pisos e paredes de palácios e templos de diferentes culturas e religiões.
Por exemplo, a civilização suméria que floresceu por volta de 3500 aC ao sul da Mesopotâmia, entre os rios Tigre e Eufrates, usava tesselações em sua arquitetura.
Figura 2. Tesselações sumérias no portão Istar. Fonte: Wikimedia Commons.
Tesselações também despertaram o interesse de matemáticos de todas as idades: começando com Arquimedes no século 3 aC, seguido por Johannes Kepler em 1619, Camille Jordan em 1880, até os tempos contemporâneos com Roger Penrose.
Penrose criou uma tesselação não periódica conhecida como a tesselação de Penrose. Estes são apenas alguns nomes de cientistas que contribuíram muito sobre a tesselação.
Tesselações regulares
Tesselações regulares são feitas com apenas um tipo de polígono regular. Por outro lado, para que a tesselação seja considerada regular, todos os pontos do plano devem:
-Pertencente ao interior do polígono
-Ou para a borda de dois polígonos adjacentes
-Finalmente pode pertencer ao vértice comum de pelo menos três polígonos.
Com as restrições acima, pode ser mostrado que apenas triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos podem formar uma tesselação regular.
Nomenclatura
Existe uma nomenclatura para denotar os mosaicos que consiste em listar no sentido horário e separados por um ponto, o número de lados dos polígonos que circundam cada nó (ou vértice) do mosaico, começando sempre pelo polígono de menor número lados.
Esta nomenclatura se aplica a tesselações regulares e semirregulares.
Exemplo 1: mosaico triangular
A Figura 3 mostra um mosaico triangular regular. Deve-se notar que cada nó da tesselação triangular é o vértice comum de seis triângulos equiláteros.
A maneira de denotar esse tipo de mosaico é 3.3.3.3.3.3, que também é denotado por 3 6.
Figura 3. Tesselação triangular regular 3.3.3.3.3.3. Fonte: wikimedia commons
Exemplo 2: mosaico quadrado
A Figura 4 mostra um mosaico regular composto apenas por quadrados. Deve-se notar que cada nó na tesselação é cercado por quatro quadrados congruentes. A notação que é aplicada a este tipo de mosaico de quadrados é: 4.4.4.4 ou alternativamente 4 4
Figura 4. Tesselação quadrada 4.4.4.4. Fonte: wikimedia commons.
Exemplo 3: mosaico hexagonal
Em um mosaico hexagonal, cada nó é circundado por três hexágonos regulares, como mostrado na figura 5. A nomenclatura para um mosaico hexagonal regular é 6.6.6 ou alternativamente 6 3.
Figura 5. Tesselação hexagonal 6.6.6. Fonte: wikimedia commons.
Tesselações semirregulares
Tesselações semirregulares ou arquimedianas consistem em dois ou mais tipos de polígonos regulares. Cada nó é circundado pelos tipos de polígonos que compõem o mosaico, sempre na mesma ordem, e a condição de borda é totalmente compartilhada com o vizinho.
Existem oito tesselações semi-regulares:
- 3.6.3.6 (mosaico tri-hexagonal)
- 3.3.3.3.6 (mosaico hexagonal cego)
- 3.3.3.4.4 (mosaico triangular alongado)
- 3.3.4.3.4 (mosaico quadrado sem corte)
- 3.4.6.4 (mosaico rombi-tri-hexagonal)
- 4.8.8 (mosaico quadrado truncado)
- 3.12.12 (mosaico hexagonal truncado)
- 4.6.12 (mosaico tri-hexagonal truncado)
Alguns exemplos de tesselações semirregulares são mostrados abaixo.
Exemplo 4: mosaico tri-hexagonal
É aquele que se compõe de triângulos equiláteros e hexágonos regulares na estrutura 3.6.3.6, o que significa que um nó da tesselação é circundado (até completar uma volta) por um triângulo, um hexágono, um triângulo e um hexágono. A Figura 6 mostra tal mosaico.
Figura 6. O mosaico tri-hexagonal (3.6.3.6) é um exemplo de mosaico semirregular. Fonte: Wikimedia Commons.
Exemplo 5: Tesselação hexagonal romba
Como o mosaico no exemplo anterior, este também consiste em triângulos e hexágonos, mas sua distribuição em torno de um nó é 3.3.3.3.6. A Figura 7 ilustra claramente esse tipo de mosaico.
Figura 7. A tesselação hexagonal romba consiste em um hexágono rodeado por 16 triângulos na configuração 3.3.3.3.6. Fonte: Wikimedia Commons.
Exemplo 6: mosaico rombi-tri-hexagonal
É um mosaico constituído por triângulos, quadrados e hexágonos, na configuração 3.4.6.4, que é mostrada na figura 8.
Figura 8. Tesselação semirregular composta por um triângulo, um quadrado e um hexágono na configuração 3.4.6.4. Fonte: Wikimedia Commons.
Tesselações irregulares
Tesselações irregulares são aquelas formadas por polígonos irregulares ou por polígonos regulares, mas não atendem ao critério de que um nó é um vértice de pelo menos três polígonos.
Exemplo 7
A Figura 9 mostra um exemplo de mosaico irregular, no qual todos os polígonos são regulares e congruentes. É irregular porque um nó não é um vértice comum de pelo menos três quadrados e também existem quadrados vizinhos que não compartilham completamente uma aresta.
Figura 9. Embora todos os ladrilhos sejam quadrados congruentes, este é um exemplo claro de mosaico irregular. Fonte: F. Zapata.
Exemplo 8
O paralelogramo cobre uma superfície plana, mas a menos que seja um quadrado, não pode formar uma tesselação regular.
Figura 10. Um mosaico formado por paralelogramos é irregular, pois seus mosaicos são polígonos não regulares. Fonte: F. Zapata.
Exemplo 9
Hexágonos não regulares com simetria central tesselar uma superfície plana, conforme mostrado na figura a seguir:
Figura 11. Hexágonos com simetria central mesmo quando não são tesselados regulares no plano. Fonte: F. Zapata.
Exemplo 10: tesselação do Cairo
É uma tesselação muito interessante, formada por pentágonos com lados de igual comprimento mas com ângulos desiguais, dois dos quais são retos e os outros três têm 120º cada.
Seu nome vem do fato de que esta tesselação é encontrada na calçada de algumas ruas do Cairo, no Egito. A Figura 12 mostra a tesselação do Cairo.
Figura 12. Tesselação do Cairo. Fonte: Wikimedia Commons.
Exemplo 11: Tesselação Al-Andalus
A tesselação em algumas partes da Andaluzia e do Norte da África são caracterizadas pela geometria e epigrafia, além de elementos ornamentais como a vegetação.
A tesselação de palácios como a da Alhambra era constituída por azulejos constituídos por peças cerâmicas de várias cores, com múltiplas (senão infinitas) formas que se desenrolavam em padrões geométricos.
Figura 13. Tesselação do Palácio de Alhambra. Tartaglia / domínio público
Exemplo 12: mosaico em videogames
Também conhecido como teselação, é uma das novidades mais populares dos videogames. Trata-se de criar texturas para simular a tesselação dos diferentes cenários que aparecem no simulador.
Este é um reflexo claro de que esses revestimentos continuam a evoluir, ultrapassando as fronteiras da realidade.
Referências
- Aprecie a matemática. Tesselações. Recuperado de: enjoymatematicas.com
- Rubiños. Tesselações resolveram exemplos. Recuperado de: matematicasn.blogspot.com
- Weisstein, Eric W. "Demiregular tessellation." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
- Wikipedia. Tesselação. Recuperado de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesselação regular. Recuperado de: es.wikipedia.com