TRANSFORMADA DE LAPLACE: DEFINIÇÃO, HISTÓRIA E PARA QUE SERVE - MATEMÁTICAS - 2025

A transformada de Laplace tem sido nos últimos anos de grande importância nos estudos de engenharia, matemática, física, entre outras áreas científicas, além de ser de grande interesse na teoria, fornece uma maneira simples de resolver problemas oriundos de ciência e engenharia.

Originalmente, a transformada de Laplace foi apresentada por Pierre-Simón Laplace em seu estudo sobre a teoria da probabilidade e foi inicialmente tratada como um objeto matemático de interesse puramente teórico.

As aplicações atuais surgem quando vários matemáticos tentaram dar uma justificação formal às "regras operacionais" usadas por Heaviside no estudo de equações da teoria eletromagnética.

Definição

Seja f uma função definida para t ≥ 0. A transformada de Laplace é definida como segue:

Diz-se que a transformada de Laplace existe se a integral anterior convergir, caso contrário, diz-se que a transformada de Laplace não existe.

Em geral, letras minúsculas são usadas para denotar a função a ser transformada, e a letra maiúscula corresponde à sua transformação. Assim teremos:

Exemplos

Considere a função constante f (t) = 1. Temos sua transformação é:

Sempre que a integral converge, isto é, sempre que s> 0. Caso contrário, s <0, a integral diverge.

Seja g (t) = t. Sua transformação de Laplace é dada por

Ao integrar por partes e saber que te ^-st tende a 0 quando t tende a infinito es> 0, junto com o exemplo anterior, temos:

A transformada pode ou não existir, por exemplo para a função f (t) = 1 / t a integral que define sua transformada de Laplace não converge e, portanto, sua transformação não existe.

As condições suficientes para garantir que a transformada de Laplace de uma função f existe são que f é contínua por partes para t ≥ 0 e é de ordem exponencial.

Uma função é dita contínua por partes para t ≥ 0, quando para qualquer intervalo com a> 0, há um número finito de pontos t _k, onde f tem descontinuidades e é contínua em cada subintervalo.

Por outro lado, uma função é dita ser de ordem exponencial c se houver constantes reais M> 0, c e T> 0 tais que:

Como exemplos temos que f (t) = t ² é de ordem exponencial, pois -t ² - <e ^3t para todo t> 0.

De uma forma formal, temos o seguinte teorema

Teorema (condições suficientes de existência)

Se f é uma função parte contínua para t> 0 e de ordem exponencial c, então a transformada de Laplace existe para s> c.

É importante notar que esta é uma condição de suficiência, ou seja, pode ser que exista uma função que não atenda a essas condições e mesmo assim exista sua transformada de Laplace.

Um exemplo disso é a função f (t) = t ^-1/2 que não é contínua por ^partes para t ≥ 0, mas existe sua transformada de Laplace.

Transformada de Laplace de algumas funções básicas

A tabela a seguir mostra as transformadas de Laplace das funções mais comuns.

História

A transformação de Laplace deve seu nome a Pierre-Simon Laplace, um matemático francês e astrônomo teórico que nasceu em 1749 e morreu em 1827. Sua fama era tal que ele ficou conhecido como o Newton da França.

Em 1744, Leonard Euler dedicou seus estudos a integrais com a forma

como soluções de equações diferenciais ordinárias, mas ele rapidamente abandonou esta investigação. Mais tarde, Joseph Louis Lagrange, que admirava muito Euler, também investigou esses tipos de integrais e os relacionou com a teoria da probabilidade.

1782, Laplace

Em 1782 Laplace começou a estudar integrais como soluções para equações diferenciais e de acordo com historiadores, em 1785 ele decidiu reformular o problema, o que mais tarde deu origem às transformadas de Laplace como são entendidas hoje.

Tendo sido introduzido no campo da teoria da probabilidade, era de pouco interesse para os cientistas da época e era visto apenas como um objeto matemático de interesse apenas teórico.

Oliver Heaviside

Foi em meados do século 19 que o engenheiro inglês Oliver Heaviside descobriu que os operadores diferenciais podem ser tratados como variáveis ​​algébricas, dando assim às transformadas de Laplace sua aplicação moderna.

Oliver Heaviside foi um físico inglês, engenheiro elétrico e matemático que nasceu em Londres em 1850 e morreu em 1925. Enquanto tentava resolver problemas de equações diferenciais aplicados à teoria das vibrações e usando os estudos de Laplace, ele começou a moldar o Aplicações modernas das transformações de Laplace.

Os resultados apresentados por Heaviside espalharam-se rapidamente pela comunidade científica da época, mas como o seu trabalho não era rigoroso, foi rapidamente criticado pelos matemáticos mais tradicionais.

No entanto, a utilidade do trabalho de Heaviside na resolução de equações da física tornou seus métodos populares entre os físicos e engenheiros.

Apesar destes contratempos e após algumas décadas de tentativas fracassadas, no início do século XX uma justificação rigorosa poderia ser dada às regras operacionais dadas por Heaviside.

Essas tentativas deram frutos graças aos esforços de vários matemáticos como Bromwich, Carson, van der Pol, entre outros.

Propriedades

Dentre as propriedades da transformada de Laplace, destacam-se as seguintes:

Linearidade

Sejam c1 e c2 constantes ef (t) e funções g (t) cujas transformadas de Laplace são F (s) e G (s) respectivamente, então temos:

Devido a esta propriedade, a transformada de Laplace é considerada um operador linear.

Exemplo

Primeiro teorema da tradução

Se acontecer que:

E 'a' é qualquer número real, então:

Exemplo

Visto que a transformada de Laplace de cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), então:

Segundo teorema da tradução

sim

assim

Exemplo

Se f (t) = t ^ 3, então F (s) = 6 / s ^ 4. E, portanto, a transformação de

é G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Mudança de escala

sim

E 'a' é um real diferente de zero, temos que

Exemplo

Uma vez que a transformação de f (t) = sin (t) é F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), temos que

Transformada de derivados de Laplace

Se f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ são contínuos para t ≥ 0 e são de ordem exponencial ef ⁽ⁿ⁾ (t) é contínua por partes para t ≥ 0, então

Transformada de Laplace de integrais

sim

assim

Multiplicação por t

Se tivermos que

assim

Divisão por t

Se tivermos que

assim

Funções periódicas

Seja f uma função periódica com período T> 0, que é f (t + T) = f (t), então

Comportamento de F (s) quando s tende ao infinito

Se f é contínuo em partes e de ordem exponencial e

assim

Transformadas inversas

Quando aplicamos a transformada de Laplace a uma função f (t), obtemos F (s), que representa essa transformação. Da mesma forma, podemos dizer que f (t) é a transformada de Laplace inversa de F (s) e é escrita como

Sabemos que as transformadas de Laplace de f (t) = 1 e g (t) = t são F (s) = 1 / s e G (s) = 1 / s ² respectivamente, portanto temos que

Algumas transformações de Laplace inversas comuns são as seguintes

Além disso, a transformada inversa de Laplace é linear, ou seja, é verdade que

Exercício

Encontrar

Para resolver este exercício, devemos combinar a função F (s) com uma da tabela anterior. Neste caso, se tomarmos + 1 = 5 e usando a propriedade de linearidade da transformada inversa, multiplicamos e dividimos por 4! Obtendo

Para a segunda transformada inversa, aplicamos frações parciais para reescrever a função F (s) e então a propriedade de linearidade, obtendo

Como podemos ver a partir desses exemplos, é comum que a função F (s) avaliada não concorde precisamente com nenhuma das funções fornecidas na tabela. Para esses casos, como pode ser visto, basta reescrever a função até que ela atinja a forma adequada.

Aplicações da transformada de Laplace

Equações diferenciais

A principal aplicação das transformadas de Laplace é resolver equações diferenciais.

Usando a propriedade da transformação de uma derivada, é claro que

Y das derivadas n-1 avaliadas em t = 0.

Esta propriedade torna a transformada muito útil para resolver problemas de valor inicial onde estão envolvidas equações diferenciais com coeficientes constantes.

Os exemplos a seguir mostram como usar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais.

Exemplo 1

Dado o seguinte problema de valor inicial

Use a transformação de Laplace para encontrar a solução.

Aplicamos a transformada de Laplace a cada membro da equação diferencial

Pela propriedade da transformação de uma derivada, temos

Ao desenvolver toda a expressão e limpar Y (s), temos

Usando frações parciais para reescrever o lado direito da equação, obtemos

Finalmente, nosso objetivo é encontrar uma função y (t) que satisfaça a equação diferencial. Usando a transformada inversa de Laplace nos dá o resultado

Exemplo 2

Resolver

Como no caso anterior, aplicamos a transformação em ambos os lados da equação e separamos termo por termo.

Desta forma, temos como resultado

Substituindo pelos valores iniciais dados e resolvendo por Y (s)

Usando frações simples, podemos reescrever a equação da seguinte forma

E a aplicação da transformada inversa de Laplace nos dá o resultado

Nestes exemplos, pode-se concluir erroneamente que esse método não é muito melhor do que os métodos tradicionais para resolver equações diferenciais.

As vantagens da transformada de Laplace é que você não precisa usar variação de parâmetro ou se preocupar com os vários casos do método do coeficiente indeterminado.

Além disso, ao resolver problemas de valor inicial por este método, desde o início usamos as condições iniciais, portanto, não é necessário realizar outros cálculos para encontrar a solução particular.

Sistemas de equações diferenciais

A transformada de Laplace também pode ser usada para encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias simultâneas, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo

Resolver

Com as condições iniciais x (0) = 8 ey (0) = 3.

Se tivermos que

assim

A resolução nos dá como resultado

E aplicando a transformada inversa de Laplace, temos

Mecânica e circuitos elétricos

A transformada de Laplace é de grande importância na física, tendo principalmente aplicações em mecânica e circuitos elétricos.

Um circuito elétrico simples é composto dos seguintes elementos

Um switch, uma bateria ou fonte, um indutor, um resistor e um capacitor. Quando a chave é fechada, uma corrente elétrica é produzida, denotada por i (t). A carga do capacitor é denotada por q (t).

Pela segunda lei de Kirchhoff, a tensão produzida pela fonte E no circuito fechado deve ser igual à soma de cada uma das quedas de tensão.

A corrente elétrica i (t) está relacionada à carga q (t) no capacitor por i = dq / dt. Por outro lado, a queda de tensão em cada um dos elementos é definida da seguinte forma:

A queda de tensão em um resistor é iR = R (dq / dt)

A queda de tensão em um indutor é L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

A queda de tensão em um capacitor é q / C

Com esses dados e aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito fechado simples, é obtida uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o sistema e nos permite determinar o valor de q (t).

Exemplo

Um indutor, um capacitor e um resistor são conectados a uma bateria E, conforme mostrado na figura. O indutor é de 2 henries, o capacitor é de 0,02 farads e a resistência é de 16 ohms. No tempo t = 0, o circuito é fechado. Encontre a carga e a corrente em qualquer momento t> 0 se E = 300 volts.

Temos que a equação diferencial que descreve este circuito é a seguinte

Onde as condições iniciais são q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Aplicando a transformação de Laplace, obtemos que

E resolvendo para Q (t)

Então, aplicando a transformada de Laplace inversa, temos

Referências

1. G. Holbrook, J. (1987). Transformada de Laplace para engenheiros eletrônicos. Limusa.
2. Ruiz, LM e Hernandez, MP (2006). Equações diferenciais e transformada de Laplace com aplicações. Editorial UPV.
3. Simmons, GF (1993). Equações diferenciais com aplicações e notas históricas. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace se transforma. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Equações diferenciais com problemas de valor de fronteira. Cengage Learning Editores, SA