- Exemplos
- Variáveis contínuas e variáveis discretas
- Exercício de variáveis contínuas
- Solução
- Exercício de
- -Exercício 1 de probabilidades
- Solução
- -Exercício 2 de probabilidades
- Referências
A variável contínua é aquela que pode assumir um número infinito de valores numéricos entre dois valores dados, mesmo se esses dois valores forem arbitrariamente próximos. Eles são usados para descrever atributos mensuráveis; por exemplo, altura e peso. Os valores que uma variável contínua assume podem ser números racionais, números reais ou números complexos, embora o último caso seja menos frequente em estatísticas.
A principal característica das variáveis contínuas é que entre dois valores racionais ou reais outro pode sempre ser encontrado, e entre esse outro e o primeiro outro valor pode ser encontrado, e assim por diante indefinidamente.
Figura 1. A curva representa uma distribuição contínua e as barras discretas. Fonte: pixabay
Por exemplo, suponha o peso variável em um grupo onde o mais pesado pesa 95 kg e o mais baixo 48 kg; esse seria o intervalo da variável e o número de valores possíveis é infinito.
Por exemplo, entre 50,00 kg e 50,10 kg pode ser 50,01. Mas entre 50,00 e 50,01 pode ser a medida 50,005. Essa é uma variável contínua. Por outro lado, se nas medidas de peso possíveis fosse estabelecida a precisão de uma única casa decimal, a variável utilizada seria discreta.
As variáveis contínuas pertencem à categoria das variáveis quantitativas, pois possuem um valor numérico associado a elas. Com este valor numérico é possível realizar operações matemáticas que vão desde métodos aritméticos até métodos de cálculo infinitesimais.
Exemplos
A maioria das variáveis em física são variáveis contínuas, entre elas podemos citar: comprimento, tempo, velocidade, aceleração, energia, temperatura e outras.
Variáveis contínuas e variáveis discretas
Em estatística, vários tipos de variáveis podem ser definidos, tanto qualitativos quanto quantitativos. As variáveis contínuas pertencem à última categoria. Com eles é possível realizar operações aritméticas e de cálculo.
Por exemplo, a variável h, correspondendo a pessoas com altura entre 1,50 me 1,95 m, é uma variável contínua.
Vamos comparar esta variável com esta: o número de vezes que uma moeda sai cara, que chamaremos de n.
A variável n pode assumir valores entre 0 e infinito, porém n não é uma variável contínua, pois não pode assumir o valor 1,3 ou 1,5, pois entre os valores 1 e 2 não há outro. Este é um exemplo de uma variável discreta.
Exercício de variáveis contínuas
Considere o seguinte exemplo: uma máquina produz palitos de fósforo e os embala em sua caixa. Duas variáveis estatísticas são definidas:
O comprimento nominal do fósforo é 5,0 cm com uma tolerância de 0,1 cm. O número de correspondências por caixa é 50 com uma tolerância de 3.
a) Indique a faixa de valores que L e N podem assumir.
b) Quantos valores L pode assumir?
c) Quantos valores n podem assumir?
Declare em cada caso se é uma variável discreta ou contínua.
Solução
Os valores de L estão na faixa; ou seja, o valor de L está no intervalo e a variável L pode assumir valores infinitos entre essas duas medições. É então uma variável contínua.
O valor da variável n está no intervalo. A variável n pode assumir apenas 6 valores possíveis no intervalo de tolerância, então é uma variável discreta.
Exercício de
Se, além de contínuos, os valores tomados pela variável têm uma certa probabilidade de ocorrência associada a eles, então é uma variável aleatória contínua. É muito importante distinguir se a variável é discreta ou contínua, já que os modelos probabilísticos aplicáveis a uma e a outra são diferentes.
Uma variável aleatória contínua é completamente definida quando os valores que pode assumir, e a probabilidade que cada um deles tem de acontecer, são conhecidos.
-Exercício 1 de probabilidades
O matchmaker os confecciona de forma que o comprimento das varas fique sempre entre os valores 4,9 cm e 5,1 cm, sendo zero fora desses valores. Existe a probabilidade de se obter um bastão que mede entre 5,00 e 5,05 cm, embora também pudéssemos extrair um de 5.0003 cm. Esses valores são igualmente prováveis?
Solução
Suponha que a densidade de probabilidade seja uniforme. As probabilidades de encontrar uma correspondência com um determinado comprimento estão listadas abaixo:
-Que uma correspondência está no intervalo tem probabilidade = 1 (ou 100%), uma vez que a máquina não desenha correspondências fora desses valores.
-Encontrar uma correspondência entre 4,9 e 5,0 tem probabilidade = ½ = 0,5 (50%), pois é a metade do intervalo de comprimentos.
- E a probabilidade de que a correspondência tenha comprimento entre 5,0 e 5,1 também é 0,5 (50%)
- Sabe-se que não existem palitos de fósforo com comprimento entre 5,0 e 5,2. Probabilidade: zero (0%).
Probabilidade de encontrar um palito em um determinado intervalo
Agora vamos observar as seguintes probabilidades P de obtenção de varetas cujo comprimento está entre l 1 e l 2:
-P que uma correspondência tem um comprimento entre 5,00 e 5,05 é denotado como P ():
-P que o morro tem comprimento entre 5,00 e 5,01 é:
-P que o morro tem um comprimento entre 5.000 e 5.001 é ainda menor:
Se continuarmos diminuindo o intervalo para nos aproximar cada vez mais de 5,00, a probabilidade de um palito ter exatamente 5,00 cm é zero (0%). O que temos é a probabilidade de encontrar uma correspondência dentro de um determinado intervalo.
Probabilidade de encontrar vários palitos em um determinado intervalo
Se os eventos forem independentes, a probabilidade de que dois palitos de dente estejam em um determinado intervalo é o produto de suas probabilidades.
- A probabilidade de que dois pauzinhos estejam entre 5,0 e 5,1 é 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)
-A probabilidade de que 50 palitos estejam entre 5,0 e 5,1 é (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, ou seja, quase zero.
- A probabilidade de que 50 palitos de dente estejam entre 4,9 e 5,1 é (1) ^ 50 = 1 (100%)
-Exercício 2 de probabilidades
No exemplo anterior, assumiu-se que a probabilidade é uniforme no intervalo dado, mas nem sempre é esse o caso.
No caso da máquina real que produz os palitos, a chance de o palito estar no valor central é maior do que em um dos valores extremos. Do ponto de vista matemático, isso é modelado com uma função f (x) conhecida como densidade de probabilidade.
A probabilidade de que a medida L esteja entre a e b é calculada usando a integral definida da função f (x) entre a e b.
Como exemplo, suponha que desejamos encontrar a função f (x), que representa uma distribuição uniforme entre os valores 4.9 e 5.1 do exercício 1.
Se a distribuição de probabilidade for uniforme, então f (x) é igual à constante c, que é determinada tomando a integral entre 4,9 e 5,1 de c. Como essa integral é a probabilidade, o resultado deve ser 1.
Figura 2. Densidade de probabilidade uniforme. (Elaboração própria)
O que significa que c vale 1 / 0,2 = 5. Ou seja, a função de densidade de probabilidade uniforme é f (x) = {5 se 4,9≤x≤5,1 e 0 fora desse intervalo. Uma função de densidade de probabilidade uniforme é mostrada na Figura 2.
Observe como em intervalos de mesma largura (por exemplo 0,02) a probabilidade é a mesma no centro e no final da faixa da variável contínua L (comprimento do palito).
Um modelo mais realista seria uma função de densidade de probabilidade como a seguinte:
Figura 3. Função densidade de probabilidade não uniforme. (Elaboração própria)
Na figura 3 pode-se ver como a probabilidade de encontrar palitos entre 4,99 e 5,01 (largura 0,02) é maior do que encontrar palitos entre 4,90 e 4,92 (largura 0,02)
Referências
- Dinov, Ivo. Variáveis aleatórias discretas e distribuições de probabilidade. Obtido em: stat.ucla.edu
- Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Obtido em: ocw.mit.edu
- Variáveis aleatórias discretas e distribuições de probabilidade. Obtido em: homepage.divms.uiowa.edu
- H. Pishro. Introdução à probabilidade. Recuperado de: probabilidade course.com
- Mendenhall, W. 1978. Statistics for Management and Economics. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
- Problemas de variáveis aleatórias e modelos de probabilidade. Recuperado de: ugr.es.
- Wikipedia. Variável contínua. Recuperado de wikipedia.com
- Wikipedia. Variável estatística. Recuperado de wikipedia.com.