VETOR DIRETOR: EQUAÇÃO DA LINHA, EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - FISICA - 2025

Entende-se por vetor diretor aquele que define a direção de uma linha, seja no plano ou no espaço. Portanto, um vetor paralelo à linha pode ser considerado como um vetor direcionador dela.

Isso é possível graças a um axioma da geometria euclidiana que diz que dois pontos definem uma linha. Então, o segmento orientado formado por esses dois pontos também define um vetor diretor dessa linha.

Figura 1. Vetor diretor de uma linha. (Elaboração própria)

Dado um ponto P pertencente à reta (L) e dado um vetor diretor u dessa reta, a reta é completamente determinada.

Equação da linha e vetor diretor

Figura 2. Equação do vetor linha e diretor. (Elaboração própria)

Dado um ponto P de coordenadas P: (Xo, I) e um vetor u diretor de uma reta (L), todo ponto Q de coordenadas Q: (X, Y) deve satisfazer que o vetor PQ é paralelo a u. Esta última condição é garantida se PQ for proporcional u:

PQ = t⋅ u

na expressão acima, t é um parâmetro que pertence aos números reais.

Se os componentes cartesianos de PQ e u forem escritos, a equação acima será escrita da seguinte forma:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Se os componentes da igualdade do vetor forem equalizados, o seguinte par de equações é obtido:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Equação paramétrica da linha

As coordenadas X e Y de um ponto pertencente à linha (L) que passa por um ponto de coordenada (Xo, Yo) e é paralelo ao vetor diretor u = (a, b) são determinadas atribuindo valores reais ao parâmetro variável t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Exemplo 1

Para ilustrar o significado da equação paramétrica da linha, tomamos como o vetor de direção

u = (a, b) = (2, -1)

e como um ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, I) = (1, 5).

A equação paramétrica da linha é:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Para ilustrar o significado desta equação, é mostrada a figura 3, onde o parâmetro t muda de valor e o ponto Q das coordenadas (X, Y) assume diferentes posições na linha.

Figura 3. PQ = t u. (Elaboração própria)

A linha em forma vetorial

Dado um ponto P na linha e seu vetor diretor u, a equação da linha pode ser escrita na forma vetorial:

OQ = OP + λ⋅ u

Na equação acima, Q é qualquer ponto, mas pertencente à reta e λ é um número real.

A equação vetorial da linha é aplicável a qualquer número de dimensões, mesmo uma hiper-linha pode ser definida.

No caso tridimensional de um vetor diretor u = (a, b, c) e um ponto P = (Xo, Yo, Zo), as coordenadas de um ponto genérico Q = (X, Y, Z) pertencentes à linha são:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Exemplo 2

Considere novamente a linha que tem como vetor de direção

u = (a, b) = (2, -1)

e como um ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, I) = (1, 5).

A equação vetorial dessa linha é:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Forma contínua da linha e do vetor diretor

Partindo da forma paramétrica, limpando e equacionando o parâmetro λ, temos:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Esta é a forma simétrica da equação da reta. Observe que a, b e c são os componentes do vetor diretor.

Exemplo 3

Considere a linha que tem como vetor de direção

u = (a, b) = (2, -1)

e como um ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, I) = (1, 5). Encontre sua forma simétrica.

A forma simétrica ou contínua da linha é:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Forma geral da equação da reta

A forma geral da linha no plano XY é conhecida como a equação que tem a seguinte estrutura:

A⋅X + B⋅Y = C

A expressão para a forma simétrica pode ser reescrita para ter a forma geral:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

comparando com a forma geral da linha, é:

A = b, B = -a e C = b⋅Xo - a⋅Yo

Exemplo 3

Encontre a forma geral da linha cujo vetor diretor é u = (2, -1)

e que passa pelo ponto P = (1, 5).

Para encontrar a forma geral, podemos usar as fórmulas fornecidas, porém um caminho alternativo será escolhido.

Começamos encontrando o vetor dual w do vetor diretor u, definido como o vetor obtido pela troca dos componentes de u e multiplicando o segundo por -1:

w = (-1, -2)

o vetor dual w corresponde a uma rotação de 90 ° no sentido horário do vetor diretor v.

Multiplicamos escalarmente w com (X, Y) e com (Xo, Yo) e definimos igual:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

permanecendo finalmente:

X + 2Y = 11

Forma padrão da equação da linha

É conhecida como a forma padrão da linha no plano XY, aquela que possui a seguinte estrutura:

Y = m⋅X + d

onde m representa a inclinação ed a interceptação com o eixo Y.

Dado o vetor de direção u = (a, b), a inclinação m é b / a.

Y d é obtido substituindo X e Y pelo ponto conhecido Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Em suma, m = b / aed = I - (b / a) Xo

Observe que a inclinação m é o quociente entre o componente y do vetor diretor e o componente x dele.

Exemplo 4

Encontre a forma padrão da linha cujo vetor diretor é u = (2, -1)

e que passa pelo ponto P = (1, 5).

m = -½ e d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Encontre um vetor diretor da linha (L) que é a interseção do plano (Π): X - Y + Z = 3 e o plano (Ω): 2X + Y = 1.

Em seguida, escreva a forma contínua da equação da reta (L).

Solução

A partir da equação da folga do plano (Ω) Y: Y = 1 -2X

Em seguida, substituímos na equação do plano (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Em seguida, parametrizamos X, escolhemos a parametrização X = λ

Isso significa que a linha tem uma equação vetorial dada por:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

que pode ser reescrito como:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

com o qual é claro que o vetor u = (1, -2, -3) é um vetor direcionador da reta (L).

A forma contínua da linha (L) é:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Exercício 2

Dado o plano 5X + a Y + 4Z = 5

e a linha cuja equação é X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Determine o valor de a de modo que o plano e a linha sejam paralelos.

Solução 2

O vetor n = (5, a, 4) é um vetor normal ao plano.

O vetor u = (1, 3, -2) é um vetor de direção da linha.

Se a linha for paralela ao plano, então n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Referências

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Pré-cálculo Matemática. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Álgebra Linear. Pearson Education.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometria analítica plana. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vetores. Recuperado de: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Basic Concepts of Geometry. Rowman e Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.