O vetor de balanceamento é aquele que se opõe ao vetor resultante e, portanto, é capaz de balancear um sistema, uma vez que possui a mesma magnitude e a mesma direção, mas na direção oposta a ela.
Em muitas ocasiões, o vetor de equilíbrio se refere a um vetor de força. Para calcular a força de equilíbrio, primeiro encontre a força resultante, conforme mostrado na figura a seguir:
Figura 1. Duas forças atuam em um corpo cuja resultante é equilibrada pela força na cor turquesa. Fonte: self made.
Existem vários métodos para realizar essa tarefa, dependendo dos dados que você tem em mãos. Uma vez que as forças são vetores, a resultante é a soma vetorial das forças participantes:
F R = F 1 + F 2 + F 3 +….
Entre os métodos a serem utilizados estão os métodos gráficos como o poligonal, o paralelogramo e os métodos analíticos como a decomposição de forças em seus componentes cartesianos. No exemplo da figura, foi utilizado o método do paralelogramo.
Uma vez que a força resultante é encontrada, a força de equilíbrio é apenas o vetor oposto.
Se F E é a força de equilíbrio, então está satisfeito que F E aplicada em um determinado ponto, garante o equilíbrio translacional do sistema. Se for uma única partícula, ela não se moverá (ou talvez com velocidade constante), mas se for um objeto estendido, ainda terá a capacidade de girar:
F R + F E = 0
Exemplos
As forças de equilíbrio estão presentes em todos os lugares. Nós próprios somos equilibrados pela força que a cadeira exerce para compensar o peso. Os objetos que estão em repouso: livros, móveis, lâmpadas de teto e um grande número de mecanismos, são continuamente equilibrados por forças.
Por exemplo, um livro em repouso sobre uma mesa é equilibrado pela força normal que exerce sobre o livro, impedindo-o de cair. O mesmo acontece com a corrente ou cabo que segura a lâmpada pendurada no teto em uma sala. Os cabos que sustentam uma carga distribuem seu peso por meio da tensão neles.
Em um fluido, alguns objetos são capazes de flutuar e permanecer em repouso, uma vez que seu peso é equilibrado por uma força ascendente exercida pelo líquido, chamada de empuxo.
Vários mecanismos precisam ser equilibrados conhecendo o vetor de força de equilíbrio, como barras, vigas e colunas.
Ao usar uma balança, é necessário equilibrar de alguma forma o peso do objeto com uma força equivalente, seja adicionando pesos ou usando molas.
Tabela de força
A tabela de força é usada em laboratório para determinar a força de equilíbrio. Consiste em uma plataforma circular, da qual você tem a vista de cima na figura, e que possui um transferidor para medir ângulos.
Nas bordas da mesa existem roldanas pelas quais passam as cordas que seguram os pesos e que convergem em um anel que fica no centro.
Por exemplo, dois pesos são pendurados. As tensões geradas nas cordas por esses pesos são desenhadas em vermelho e azul na Figura 2. Um terceiro peso em verde pode equilibrar a força resultante dos outros dois e manter o sistema em equilíbrio.
Figura 2. Vista superior da mesa de força. Fonte: self made.
Com a tabela de forças é possível verificar o caráter vetorial das forças, decompor as forças, encontrar a força de equilíbrio e verificar o teorema de Lamy:
Figura 3. Teorema de Lamy se aplica a forças concorrentes e coplanares. Fonte: Wikimedia Commons.
Exercícios resolvidos
-Exercício 1
Pesos de 225 g (tensão azul) e 150 g (tensão vermelha) são pendurados na mesa de força da Figura 2, com os ângulos mostrados. Encontre o valor da força de equilíbrio e o ângulo que ela forma com o eixo vertical.
Figura 4. Tabela de força para o exercício 1.
Solução
O problema pode ser trabalhado com os pesos expressos em gramas (forças). Seja P 1 = 150 gramas e P 2 = 225 gramas, os respectivos componentes de cada um são:
P 1x = 225. cos 45 g = 159,10 g; P 1y = 225. cos 45º g = 159,10 g
P 2x = -150. sen 30 g = -75,00 g; P 2y = 150. cos 30º g = 129,90 g
O peso resultante P R é encontrado adicionando algebricamente os componentes:
P Rx = 159,10 - 75,00 g = 84,10 g
P Ry = 159,10 + 129,90 g = 289,00 g
O peso de equilíbrio P E é o vetor oposto a P R:
P Ex = -84,10 g
P Ey = -289,00 g
A magnitude do peso de equilíbrio é calculada por:
P E = (P Ex 2 + P Ey 2) 1/2 = ((-84,10) 2 + (-289,00) 2) 1/2 g = 301 g
O ângulo θ na figura é:
θ = arctg (-84,10 / -289,00) = 16,2º em relação ao eixo y negativo.
-Exercício 2
Encontre o vetor de equilíbrio do sistema mostrado na figura, sabendo que cada quadrado mede 10 m de lado.
Figura 5. Diagrama do exemplo trabalhado 2.
Solução
Os vetores contidos nesta grade serão expressos em termos da unidade e dos vetores ortogonais i e j que determinam o plano. O vetor 1, denotado por v 1, tem magnitude de 20 m e é direcionado verticalmente para cima. Pode ser expresso como:
v 1 = 0 i +20 j m
No desenho, pode-se ver que o vetor 2 é:
v 2 = -10 i - 20 j m
O vetor 3 é horizontal e aponta na direção positiva:
v 3 = 10 i + 0 jm
Finalmente o vetor 4 está inclinado 45º, pois é a diagonal do quadrado, portanto seus componentes medem os mesmos:
v 4 = -10 i + 10 j m
Observe que os sinais indicam em que lado do eixo os componentes estão: acima e à direita têm um sinal +, enquanto abaixo e à esquerda eles têm um sinal -.
O vetor resultante é obtido adicionando componente a componente:
v R = -10 i + 10 j m
Então, o vetor de equilíbrio do sistema é:
v E = 10 i - 10 j m
Referências
- Beardon, T. 2011. Uma introdução aos vetores. Recuperado de: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
- Fisica. Módulo 8: Vetores. Recuperado de: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático 6ª Edição. Editora Continental. 15-53.
- Calculadora de adição de vetor. Recuperado de: 1728.org
- Vetores. Recuperado de: wikibooks.org