VETOR NORMAL: CÁLCULO E EXEMPLO - FISICA - 2024

O vetor normal é aquele que define a direção perpendicular a alguma entidade geométrica em consideração, que pode ser por uma curva, um plano ou uma superfície, por exemplo.

É um conceito muito útil no posicionamento de uma partícula em movimento ou alguma superfície no espaço. No gráfico a seguir, é possível ver como é o vetor normal para uma curva arbitrária C:

Figura 1. Uma curva C com o vetor normal à curva no ponto P. Fonte: Svjo

Considere um ponto P na curva C. O ponto pode representar uma partícula em movimento que está se movendo ao longo de um caminho em forma de C. A linha tangente à curva no ponto P é desenhada em vermelho.

Observe que o vetor T é tangente a C em cada ponto, enquanto o vetor N é perpendicular a T e aponta para o centro de um círculo imaginário cujo arco é um segmento de C. Os vetores são denotados em negrito no texto impresso, para distingui-los de outras quantidades não vetoriais.

O vetor T sempre indica para onde a partícula está se movendo, portanto indica a velocidade da partícula. Por outro lado, o vetor N sempre aponta na direção em que a partícula está girando, desta forma indica a concavidade da curva C.

Como trazer o vetor normal para um plano?

O vetor normal não é necessariamente um vetor unitário, ou seja, um vetor cujo módulo é 1, mas se for assim, é denominado vetor unitário normal.

Figura 2. À esquerda um plano P e os dois vetores normais a esse plano. À direita, os vetores unitários nas três direções que determinam o espaço. Fonte: Wikimedia Commons. Veja a página do autor

Em muitas aplicações, é necessário conhecer o vetor normal a um plano ao invés de uma curva. Este vetor revela a orientação do referido plano no espaço. Por exemplo, considere o plano P (amarelo) da figura:

Há dois vectores normais para este plano: n ₁ e n ₂. A utilização de um ou de outro dependerá do contexto em que se encontra o referido plano. Obter o vetor normal para um plano é muito simples se a equação do plano for conhecida:

Aqui, o vetor N é expresso em termos dos vetores unitários perpendiculares i, j e k, direcionados ao longo das três direções que determinam o espaço xyz, veja a figura 2 à direita.

O vetor normal do produto vetorial

Um procedimento muito simples para encontrar o vetor normal faz uso das propriedades do produto vetorial entre dois vetores.

Como é sabido, três pontos diferentes, não colineares uns com os outros, determinar um plano P. Agora, é possível obter dois vectores de u e v que pertencem ao referido plano tendo estas três pontos.

Uma vez obtidos os vetores, o produto vetorial u x v é uma operação cujo resultado é por sua vez um vetor, que tem a propriedade de ser perpendicular ao plano determinado por u e v.

Conhecido este vetor, ele é denominado N, e a partir dele será possível determinar a equação do plano graças à equação indicada na seção anterior:

N = u x v

A figura a seguir ilustra o procedimento descrito:

Figura 3. Com dois vetores e seu produto vetorial ou cruzada, a equação do plano que contém os dois vetores é determinada. Fonte: Wikimedia Commons. Nenhum autor legível por máquina fornecido. M.Romero Schmidtke assumido (com base em reivindicações de direitos autorais).

Exemplo

Encontre a equação do plano determinada pelos pontos A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Solução

Este exercício ilustra o procedimento descrito acima. Por possuir 3 pontos, um deles é escolhido como origem comum de dois vetores que pertencem ao plano definido por esses pontos. Por exemplo, o ponto A é definido como a origem e os vetores AB e AC são construídos.

O vetor AB é o vetor cuja origem é o ponto A e cujo ponto final é o ponto B. As coordenadas do vetor AB são determinadas subtraindo respectivamente as coordenadas de B das coordenadas de A:

Procedemos da mesma maneira para encontrar o vetor AC:

Cálculo do produto vetorial

Existem vários procedimentos para encontrar o produto vetorial entre dois vetores. Este exemplo usa um procedimento mnemônico que usa a figura a seguir para encontrar os produtos do vetor entre os vetores unitários i, j e k:

Figura 4. Gráfico para determinar o produto vetorial entre os vetores unitários. Fonte: self made.

Para começar, é bom lembrar que os produtos vetoriais entre vetores paralelos são nulos, portanto:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

E como o produto vetorial é outro vetor perpendicular aos vetores participantes, movendo-se na direção da seta vermelha, temos:

Se você tiver que se mover na direção oposta à da seta, adicione um sinal (-):

No total, é possível fazer 9 produtos vetoriais com os vetores unitários i, j e k, dos quais 3 serão nulos.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Equação do plano

O vetor N foi determinado pelo produto do vetor calculado anteriormente:

N = 2 i -8 j -2 k

Portanto, a = 2, b = -8, c = -2, o plano procurado é:

O valor de d ainda não foi determinado. Isso é fácil se os valores de qualquer um dos pontos A, B ou C que estão disponíveis forem substituídos na equação do plano. Escolhendo C, por exemplo:

x = 4; y = 2; z = 1

Permanece:

Em suma, o mapa procurado é:

O leitor curioso pode se perguntar se o mesmo resultado teria sido obtido se, em vez de fazer AB x AC, tivesse sido escolhido AC x AB. A resposta é sim, o plano determinado por esses três pontos é único e possui dois vetores normais, conforme mostrado na figura 2.

Quanto ao ponto selecionado como origem dos vetores, não há problema em escolher nenhum dos outros dois.

Referências

1. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB). 31-62.
2. Encontrando o normal para um plano. Recuperado de: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Cálculo e geometria analítica. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Linhas e planos em R 3. Recuperado de: math.harvard.edu.
5. Vetor normal. Recuperado de mathworld.wolfram.com.