VETOR RESULTANTE: CÁLCULO, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - FISICA - 2025

O vetor resultante é aquele obtido por uma operação com vetores cujo resultado também é um vetor. Normalmente esta operação é a soma de dois ou mais vetores, por meio dos quais se obtém um vetor cujo efeito é equivalente.

Dessa forma, vetores como velocidade, aceleração ou força resultantes são obtidos. Por exemplo, quando várias forças F ₁, F ₂, F ₃,… atuam em um corpo. a soma vetorial de todas essas forças é igual à força resultante (a resultante), que é matematicamente expressa da seguinte forma:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R ou F _N

Figura 1. O peso da neve é ​​distribuído na cobertura e sua ação pode ser substituída por uma única força resultante aplicada no local apropriado. Fonte: Pixabay.

O vetor resultante, sejam forças ou qualquer outra magnitude vetorial, é encontrado aplicando-se as regras de adição de vetores. Como os vetores têm direção e sentido além de valor numérico, não basta somar os módulos para ter o vetor resultante.

Isso é verdade apenas no caso em que os vetores envolvidos estão na mesma direção (ver exemplos). Caso contrário, é necessário utilizar métodos de soma vetorial, que dependendo do caso podem ser geométricos ou analíticos.

Exemplos

Os métodos geométricos para encontrar o vetor resultante são o método transversal e o método do paralelogramo.

Quanto aos métodos analíticos, existe o método dos componentes, pelo qual se pode encontrar o vetor resultante de qualquer sistema de vetores, desde que tenhamos seus componentes cartesianos.

Métodos geométricos para adicionar dois vetores

Suponha que os vetores u e v (que denotam-los em negrito para distingui-los dos escalares). Na figura 2a) nós os temos localizados no plano. Na figura 2 b) ele foi traduzido para o vetor v de modo que sua origem coincida com o final de u. O vetor resultante vai da origem do primeiro (u) até a ponta do último (v):

Figura 2. O vetor resultante da soma gráfica dos vetores. Fonte: self made.

A figura resultante neste caso é um triângulo (um triângulo é um polígono de três lados). Se tivermos dois vetores na mesma direção, o procedimento é o mesmo: coloque um dos vetores após o outro e desenhe aquele que vai da origem ou cauda do primeiro até a ponta ou final do último.

Observe que a ordem em que esse procedimento é feito não importa, pois a soma dos vetores é comutativa.

Observe também que, neste caso, o módulo (o comprimento ou tamanho) do vetor resultante é a soma dos módulos dos vetores adicionados, ao contrário do caso anterior, em que o módulo do vetor resultante é menor que a soma dos módulos de participantes.

Método de paralelogramo

Este método é muito apropriado quando você precisa adicionar dois vetores cujos pontos de origem coincidem, digamos, com a origem de um sistema de coordenadas xy. Suponha que este é o caso para os nossos vetores u e v (Figura 3A):

Figura 3. Soma de dois vetores usando o método do paralelogramo com o vetor resultante em azul turquesa. Fonte: self made.

Na figura 3b) um paralelogramo tem sido construídos com a ajuda de linhas pontilhadas paralelo para u e v. O vetor resultante tem sua origem em O e sua extremidade no ponto onde as linhas pontilhadas se cruzam. Este procedimento é completamente equivalente ao descrito na seção anterior.

Exercícios

-Exercício 1

Dados os vetores a seguir, encontre o vetor resultante usando o método transversal.

Figura 4. Vetores para encontrar sua resultante usando o método poligonal. Exercício 1. Fonte: elaboração própria.

Solução

O método transversal é o primeiro dos métodos vistos. Lembre-se de que a soma dos vetores é comutativa (a ordem dos adendos não altera a soma), então você pode começar com qualquer um dos vetores, por exemplo u (figura 5a) ou r (figura 5b):

Figura 5. Soma de vetores usando o método poligonal. Fonte: self made.

Figura obtido é um polígono e o vector resultante (em azul) é chamado R. Se você começar com outro vetor, a forma formada pode ser diferente, conforme mostrado no exemplo, mas o vetor resultante é o mesmo.

Exercício 2

Na figura a seguir nós sabemos que os módulos dos vectores de u e v são, respectivamente, u = 3 unidades arbitrárias e V = 1,8 unidades arbitrárias. O ângulo que u faz com o eixo x positivo é de 45º, enquanto v faz 60º com o eixo y, como visto na figura. Encontre o vetor, a magnitude e a direção resultantes.

Solução

Na seção anterior, o vetor resultante foi encontrado aplicando-se o método do paralelogramo (em turquesa na figura).

Uma maneira fácil de encontrar o vetor resultante analiticamente é expressar os vetores adendos em termos de seus componentes cartesianos, o que é uma tarefa fácil quando o módulo e o ângulo são conhecidos, como os vetores neste exemplo:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sen 45º = 3x sen 45º = 2,12

v _x = v. sen 60º = 1,8 x sen 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Os vectores de u e v são vectores que pertencem ao plano, por conseguinte, tendo cada um dois componentes. O vetor u está no primeiro quadrante e seus componentes são positivos, enquanto o vetor v está no quarto quadrante; seu componente x é positivo, mas sua projeção no eixo vertical cai sobre o eixo y negativo.

Cálculo dos componentes cartesianos do vetor resultante

O vetor resultante é encontrado adicionando algebricamente os respectivos componentes x e y, para obter seus componentes cartesianos:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Uma vez que os componentes cartesianos foram especificados, o vetor é totalmente conhecido. O vetor resultante pode ser expresso com a notação entre colchetes:

R = <3,68; 1,22> unidades arbitrárias

A notação de colchetes é usada para distinguir um vetor de um ponto no plano (ou no espaço). Outra maneira de expressar o vetor resultante analiticamente é usando os vetores unitários i e j no plano (i, j e k no espaço):

R = 3,68 i + 1,22 j unidades arbitrárias

Como os dois componentes do vetor resultante são positivos, o vetor R pertence ao primeiro quadrante, que já foi visto graficamente antes.

Magnitude e direção do vetor resultante

Conhecendo as componentes cartesianas, a magnitude de R é calculada através do teorema de Pitágoras, uma vez que o vetor resultante R, juntamente com suas componentes R _x e R _e formam um triângulo retângulo:

Magnitude ou módulo: R = (3,68 ² + 1,22 ²) ^½ = 3,88

Direção q tomando o eixo x positivo como referência: q = arctan (R _y / R _x) = arctg (1,22 /3,68) = 18,3 º

Referências

1. Adicionando vetores e regras. Obtido em: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
3. Fisica. Módulo 8: Vetores. Recuperado de: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático 6ª Edição. Editora Continental. 15-53.
5. Calculadora de adição de vetor. Obtido em: www.1728.org