VETORES NO ESPAÇO: COMO REPRESENTAR GRAFICAMENTE, APLICAÇÕES, EXERCÍCIOS - FISICA - 2025

Um vetor no espaço é tudo o que é representado por um sistema de coordenadas dado por x, y e z. Na maioria das vezes, o plano xy é o plano da superfície horizontal e o eixo z representa a altura (ou profundidade).

Os eixos de coordenadas cartesianas mostrados na figura 1 dividem o espaço em 8 regiões chamadas octantes, de forma análoga a como os eixos x - y dividem o plano em 4 quadrantes. Teremos então 1º octante, 2º octante e assim por diante.

Figura 1. Um vetor no espaço. Fonte: self made.

A Figura 1 contém uma representação de um vetor v no espaço. Alguma perspectiva é necessária para criar a ilusão de três dimensões no plano da tela, o que é obtido desenhando uma vista oblíqua.

Para representar graficamente um vetor 3D, deve-se usar as linhas pontilhadas que determinam na grade as coordenadas da projeção ou "sombra" de v na superfície xy. Esta projeção começa em O e termina no ponto verde.

Uma vez lá, você deve continuar ao longo da vertical até a altura (ou profundidade) necessária de acordo com o valor de z, até chegar a P. O vetor é desenhado a partir de O e termina em P, que no exemplo está no 1º octante.

Formulários

Os vetores no espaço são amplamente utilizados na mecânica e em outros ramos da física e da engenharia, uma vez que as estruturas que nos cercam exigem geometria em três dimensões.

Os vetores de posição no espaço são usados ​​para posicionar objetos em relação a um ponto de referência denominado origem OR.Portanto, também são ferramentas necessárias na navegação, mas não é tudo.

As forças que atuam em estruturas como parafusos, suportes, cabos, escoras e muito mais são vetoriais por natureza e orientadas no espaço. Para saber seu efeito, é necessário saber seu endereço (e também seu ponto de aplicação).

E freqüentemente a direção de uma força é conhecida pelo conhecimento de dois pontos no espaço que pertencem à sua linha de ação. Desta forma, a força é:

F = F u

Em que F é a magnitude ou amplitude da força e u é o vector de unidade (módulo 1) dirigido ao longo da linha de acção F.

Notação e representações vetoriais 3D

Antes de prosseguirmos na resolução de alguns exemplos, revisaremos brevemente a notação vetorial 3D.

No exemplo da Figura 1, o vetor v, cujo ponto de origem coincide com a origem O e cujo final é o ponto P, possui coordenadas xyz positivas, enquanto a coordenada y é negativa. Essas coordenadas são: x ₁, y ₁, z ₁, que são precisamente as coordenadas de P.

Portanto, se temos um vetor vinculado à origem, ou seja, cujo ponto de partida coincide com O, é muito fácil indicar suas coordenadas, que serão as do ponto extremo ou P. Para distinguir entre um ponto e um vetor, usaremos a as últimas letras em negrito e colchetes, como este:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

Enquanto o ponto P é denotado entre parênteses:

P = (x ₁, y ₁, z ₁)

Outra representação faz uso dos vetores unitários i, j e k que definem as três direções do espaço nos eixos x, y e z respectivamente.

Esses vetores são perpendiculares entre si e formam uma base ortonormal (ver figura 2). Isso significa que um vetor 3D pode ser escrito em termos deles como:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Ângulos e cossenos diretores de um vetor

A Figura 2 também mostra os ângulos do diretor γ ₁, γ ₂ e γ ₃ que o vetor v forma respectivamente com os eixos x, y e z. Conhecendo esses ângulos e a magnitude do vetor, está completamente determinado. Além disso, os cossenos dos ângulos do diretor atendem à seguinte relação:

(cos γ ₁) ² + (cos γ ₂) ² + (cos γ ₃) ² = 1

Figura 2. Os vetores unitários i, j e k determinam as 3 direções preferenciais do espaço. Fonte: self made.

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Na figura 2 os ângulos γ ₁, γ ₂ e γ ₃ que o vetor v de módulo 50 forma com os eixos coordenados são respectivamente: 75,0º, 60,0º e 34,3º. Encontre os componentes cartesianos desse vetor e represente-os em termos dos vetores unitários i, j e k.

Solução

A projeção do vetor v no eixo _x é v _x = 50. cos 75º = 12.941. Da mesma forma, a projeção de v no eixo y é v _y = 50 cos 60 º = 25 e, finalmente, no eixo z é v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Agora v pode ser expresso como:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Exercício 2

Encontre as tensões em cada um dos cabos que seguram o balde na figura que está em equilíbrio, se seu peso for 30 N.

Figura 3. Diagrama de tensões para o exercício 2.

Solução

No balde, o diagrama de corpo livre indica que T _D (verde) compensa o peso W (amarelo), portanto, T _D = W = 30 N.

No nó, o vetor T _D é direcionado verticalmente para baixo, então:

T _D = 30 (- k) N.

Para estabelecer as tensões restantes, siga estas etapas:

Etapa 1: Encontre as Coordenadas de Todos os Pontos

A = (4.5,0,3) (A está no plano da parede xz)

B = (1,5,0,0) (B está no eixo x)

C = (0, 2,5, 3) (C está no plano da parede ez)

D = (1,5, 1,5, 0) (D está no plano xy horizontal)

Passo 2: Encontre os vetores em cada direção subtraindo as coordenadas do final e do início

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; 1; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Etapa 3: Calcular módulos e vetores unitários

Um vetor unitário é obtido pela expressão: u = r / r, sendo r (em negrito) o vetor er (não em negrito) o módulo do referido vetor.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ²) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ²) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; 1; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -1; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Etapa 4: Expressar todas as tensões como vetores

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -1; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Etapa 5: Aplicar a condição de equilíbrio estático e resolver o sistema de equações

Finalmente, a condição de equilíbrio estático é aplicada ao balde, de modo que a soma vetorial de todas as forças no nó seja zero:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Como as tensões estão no espaço, isso resultará em um sistema de três equações para cada componente (x, y e z) das tensões.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

A solução é: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Referências

1. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
3. Fisica. Módulo 8: Vetores. Recuperado de: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático 6ª Edição. Editora Continental. 15-53.
5. Calculadora de adição de vetor. Recuperado de: 1728.org