BASE ORTONORMAL: PROPRIEDADES, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS - FISICA - 2024

Uma base ortonormal é formada com vetores perpendiculares entre si e cujo módulo também é 1 (vetores unitários). Lembremos que uma base B em um espaço vetorial V é definida como um conjunto de vetores linearmente independentes capazes de gerar o referido espaço.

Por sua vez, um espaço vetorial é uma entidade matemática abstrata entre cujos elementos são vetores, geralmente associados a grandezas físicas como velocidade, força e deslocamento ou também a matrizes, polinômios e funções.

Figura 1. Base ortonormal no plano. Fonte: Wikimedia Commons. Quartl.

Os vetores têm três elementos distintos: magnitude ou módulo, direção e sentido. Uma base ortonormal é especialmente útil para representá-los e operar com eles, uma vez que qualquer vetor que pertença a um certo espaço vetorial V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores que formam a base ortonormal.

Desta forma, as operações entre vetores, como adição, subtração e os diferentes tipos de produtos definidos no referido espaço, são executadas analiticamente.

Entre as bases mais utilizadas em física está a base formada pelos vetores unitários i, j e k que representam as três direções distintas do espaço tridimensional: altura, largura e profundidade. Esses vetores também são conhecidos como vetores canônicos unitários.

Se, por outro lado, os vetores são trabalhados em um plano, dois desses três componentes seriam suficientes, enquanto para os vetores unidimensionais apenas um é necessário.

Propriedades das bases

1- A base B é o menor conjunto possível de vetores que geram o espaço vetorial V.

2- Os elementos de B são linearmente independentes.

3- Qualquer base B de um espaço vetorial V, permite expressar todos os vetores de V como uma combinação linear deste e esta forma é única para cada vetor. Por esse motivo, B também é conhecido como sistema gerador.

4- O mesmo espaço vetorial V pode ter bases diferentes.

Exemplos de bases

Aqui estão vários exemplos de bases ortonormais e bases em geral:

A base canônica em ℜ

Também chamada de base natural ou base padrão de ℜ ⁿ, onde ℜ ⁿ é o espaço n-dimensional, por exemplo, o espaço tridimensional é ℜ ³. O valor de n é chamado de dimensão do espaço vetorial e é denotado como dim (V).

Todos os vetores pertencentes a ℜ ⁿ são representados por n-anúncios ordenados. Para o espaço ℜ ⁿ, a base canônica é:

e ₁ = <1,0,…, 0>; e ₂ = <0,1,…, 0>; …….. e _n = <0,0,…, 1>

Neste exemplo, usamos a notação com colchetes ou “colchetes” e negrito para os vetores unitários e ₁, e ₂, e ₃…

A base canônica em ℜ

Os vetores familiares i, j e k admitem esta mesma representação e todos os três são suficientes para representar os vetores em ℜ ³:

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Isso significa que a base pode ser expressa assim:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Para verificar que são linearmente independentes, o determinante formado com os vetores é diferente de zero e também igual a 1:

Também deve ser possível escrever qualquer vetor pertencente a ℜ ³ como uma combinação linear deles. Por exemplo, uma força cujos componentes retangulares são F _x = 4 N, F _y = -7 N e F _z = 0 N seria escrita em forma de vetor assim:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Portanto, i, j e k constituem um sistema gerador de ℜ ³.

Outras bases ortonormais em ℜ

A base padrão descrita na seção anterior não é a única base ortonormal em ℜ ³. Aqui temos, por exemplo, as bases:

B ₁ = {; <- sen θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Pode-se mostrar que essas bases são ortonormais, para isso lembramos as condições que devem ser atendidas:

-Os vetores que formam a base devem ser ortogonais entre si.

-Cada um deles deve ser unitário.

Podemos verificar isso sabendo que o determinante formado por eles deve ser diferente de zero e igual a 1.

A base B ₁ é precisamente aquela das coordenadas cilíndricas ρ, φ e z, outra forma de expressar vetores no espaço.

Figura 2. Coordenadas cilíndricas. Fonte: Wikimedia Commons. Apaixonado por matemática.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Mostre que a base B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} é ortonormal.

Solução

Para mostrar que os vetores são perpendiculares entre si, usaremos o produto escalar, também chamado de produto interno ou escalar de dois vetores.

Vamos quaisquer dois vetores u e v, seu produto escalar é definido por:

u • v = uv cosθ

Para distinguir os vetores de seus módulos, usaremos negrito para a primeira e normal para a segunda. θ é o ângulo entre u e v, por conseguinte, se eles são perpendiculares, isto significa que θ = 90º e o produto escalar é zero.

Alternativamente, se os vetores são dados em termos de seus componentes: u =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, o produto escalar de ambos, que é comutativo, é calculado desta forma:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

Desta forma, os produtos escalares entre cada par de vetores são, respectivamente:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Para a segunda condição, é calculado o módulo de cada vetor, obtido por:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

Assim, os módulos de cada vetor são:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Portanto, todos os três são vetores unitários. Finalmente, o determinante que eles formam é diferente de zero e igual a 1:

- Exercício 2

Escreva as coordenadas do vetor w = <2, 3,1> em termos da base acima.

Solução

Para fazer isso, o seguinte teorema é usado:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Isso significa que podemos escrever o vetor na base B, usando os coeficientes < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, para os quais devemos calcular os produtos escalares indicados:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Com os produtos escalares obtidos, uma matriz é construída, chamada de matriz de coordenadas w.

Portanto, as coordenadas do vetor w na base B são expressas por:

_B =

A matriz de coordenadas não é o vetor, visto que um vetor não é igual a suas coordenadas. Esses são apenas um conjunto de números que servem para expressar o vetor em uma determinada base, não o vetor como tal. Eles também dependem da base selecionada.

Finalmente, seguindo o teorema, o vetor w seria expresso da seguinte forma:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Com: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, ou seja, os vetores da base B.

Referências

1. Larson, R. Foundations of Linear Algebra. 6º. Edição. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7º. Edição. Volume 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linear Algebra. Unidade 10. Bases ortonormais. Recuperado de: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla University. Coordenadas cilíndricas. Base vetorial. Recuperado de: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Base ortonormal. Recuperado de: es.wikipedia.org.