- Caracteristicas
- Tipos
- Primeiro grau
- Segundo grau
- Solvente
- Mais alto grau
- Exercícios resolvidos
- Primeiro exercício
- Solução
- Segundo exercício
- Solução
- Referências
As equações polinomiais são um enunciado que aumenta a igualdade de duas expressões ou membros, onde pelo menos um dos termos que compõem cada lado da igualdade são polinômios P (x). Essas equações são nomeadas de acordo com o grau de suas variáveis.
Em geral, uma equação é um enunciado que estabelece a igualdade de duas expressões, onde em pelo menos uma delas existem quantidades desconhecidas, que são chamadas de variáveis ou incógnitas. Embora existam muitos tipos de equações, elas geralmente são classificadas em dois tipos: algébrica e transcendente.
As equações polinomiais contêm apenas expressões algébricas, que podem ter uma ou mais incógnitas envolvidas na equação. De acordo com o expoente (grau) que possuem, podem ser classificados em: primeiro grau (linear), segundo grau (quadrático), terceiro grau (cúbico), quarto grau (quártico), grau maior ou igual a cinco e irracional.
Caracteristicas
Equações polinomiais são expressões formadas por uma igualdade entre dois polinômios; isto é, pelas somas finitas de multiplicações entre valores que são desconhecidos (variáveis) e números fixos (coeficientes), onde as variáveis podem ter expoentes e seu valor pode ser um número inteiro positivo, incluindo zero.
Os expoentes determinam o grau ou tipo de equação. O termo na expressão com o expoente mais alto representará o grau absoluto do polinômio.
As equações polinomiais também são conhecidas como equações algébricas, seus coeficientes podem ser números reais ou complexos e as variáveis são números desconhecidos representados por uma letra, como: "x".
Se substituir um valor para a variável "x" em P (x), o resultado é igual a zero (0), então esse valor é considerado para satisfazer a equação (é uma solução), e é geralmente chamado de raiz do polinômio.
Ao desenvolver uma equação polinomial, você deseja encontrar todas as raízes ou soluções.
Tipos
Existem vários tipos de equações polinomiais, que se diferenciam de acordo com o número de variáveis e também de acordo com o grau de seu expoente.
Assim, as equações polinomiais - onde seu primeiro termo é um polinômio que possui uma única incógnita, considerando que seu grau pode ser qualquer número natural (n) e o segundo termo é zero -, podem ser expressas da seguinte forma:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Onde:
- a n, a n-1 e 0 são coeficientes reais (números).
- um n é diferente de zero.
- O expoente n é um número inteiro positivo que representa o grau da equação.
- x é a variável ou desconhecida a ser pesquisada.
O grau absoluto ou maior de uma equação polinomial é o expoente com o valor mais alto entre todos aqueles que formam o polinômio; assim, as equações são classificadas como:
Primeiro grau
As equações polinomiais de primeiro grau, também conhecidas como equações lineares, são aquelas em que o grau (o maior expoente) é igual a 1, o polinômio tem a forma P (x) = 0; y é composto por um termo linear e outro independente. Está escrito da seguinte forma:
ax + b = 0.
Onde:
- a e b são números reais e a ≠ 0.
- machado é o termo linear.
- b é o termo independente.
Por exemplo, a equação 13x - 18 = 4x.
Para resolver equações lineares, todos os termos que contêm o desconhecido x devem ser passados para um lado da igualdade, e aqueles que não o possuem passam para o outro lado, a fim de resolvê-lo e obter uma solução:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Assim, a equação dada tem apenas uma solução ou raiz, que é x = 2.
Segundo grau
As equações polinomiais de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas, são aquelas em que o grau (o maior expoente) é igual a 2, o polinômio tem a forma P (x) = 0 e é composto por um termo quadrático, um linear e um independente. É expresso da seguinte forma:
ax 2 + bx + c = 0.
Onde:
- a, bec são números reais e a ≠ 0.
- o eixo 2 é o termo quadrático e "a" é o coeficiente do termo quadrático.
- bx é o termo linear e "b" é o coeficiente do termo linear.
- c é o termo independente.
Solvente
Geralmente, a solução para este tipo de equação é dada limpando x da equação, e é a seguinte, que é chamada de resolvente:
Lá, (b 2 - 4ac) é chamado de discriminante da equação e esta expressão determina o número de soluções que a equação pode ter:
- Se (b 2 - 4ac) = 0, a equação terá uma única solução que é dupla; ou seja, terá duas soluções iguais.
- Se (b 2 - 4ac)> 0, a equação terá duas soluções reais diferentes.
- Se (b 2 - 4ac) <0, a equação não tem solução (terá duas soluções complexas diferentes).
Por exemplo, temos a equação 4x 2 + 10x - 6 = 0, para resolvê-la, primeiro identifique os termos a, b e c, e depois substitua-os na fórmula:
a = 4
b = 10
c = -6.
Existem casos em que as equações polinomiais de segundo grau não possuem todos os três termos, e é por isso que são resolvidas de forma diferente:
- No caso das equações quadráticas não possuírem o termo linear (ou seja, b = 0), a equação será expressa como ax 2 + c = 0. Para resolvê-lo, resolva para x 2 e aplique as raízes quadradas em cada membro, lembrando que devem ser considerados os dois possíveis sinais que o desconhecido pode ter:
machado 2 + c = 0.
x 2 = - c ÷ a
Por exemplo, 5 x 2 - 20 = 0.
5 x 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2.
x 2 = -2.
- Quando a equação quadrática não possui um termo independente (ou seja, c = 0), a equação será expressa como ax 2 + bx = 0. Para resolvê-la, devemos tomar o fator comum do desconhecido x no primeiro membro; Como a equação é igual a zero, é verdade que pelo menos um dos fatores será igual a 0:
machado 2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Assim, você deve:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Por exemplo: temos a equação 5x 2 + 30x = 0. Primeiro fatoramos:
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Dois fatores são gerados, os quais são xy (5x + 30). Considera-se que um deles será igual a zero e o outro está resolvido:
x 1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Mais alto grau
As equações polinomiais de maior grau são aquelas que vão do terceiro grau em diante, podendo ser expressas ou resolvidas com a equação polinomial geral para qualquer grau:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Isso é usado porque uma equação com um grau maior que dois é o resultado da fatoração de um polinômio; isto é, é expresso como a multiplicação de polinômios de grau um ou maior, mas sem raízes reais.
A solução desses tipos de equações é direta, pois a multiplicação de dois fatores será igual a zero se algum dos fatores for nulo (0); portanto, cada uma das equações polinomiais encontradas deve ser resolvida, colocando cada um de seus fatores igual a zero.
Por exemplo, temos a equação do terceiro grau (cúbica) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Para resolvê-lo, as seguintes etapas devem ser seguidas:
- Os termos são agrupados:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2) + (4x + 4) = 0.
- Os membros são decompostos para obter o fator comum do desconhecido:
x 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.
- Desta forma, obtêm-se dois fatores, que devem ser iguais a zero:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Pode-se perceber que o fator (x 2 + 4) = 0 não terá solução real, enquanto o fator (x + 1) = 0 sim. Portanto, a solução é:
(x + 1) = 0
x = -1.
Exercícios resolvidos
Resolva as seguintes equações:
Primeiro exercício
(2x 2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
Solução
Nesse caso, a equação é expressa como a multiplicação de polinômios; ou seja, é fatorado. Para resolvê-lo, cada fator deve ser igual a zero:
- 2x 2 + 5 = 0, não tem solução.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Assim, a equação dada tem duas soluções: x = 3 e x = -1.
Segundo exercício
x 4 - 36 = 0.
Solução
Foi fornecido um polinômio, que pode ser reescrito como uma diferença de quadrados para chegar a uma solução mais rápida. Assim, a equação é:
(x 2 + 6) * (x 2 - 6) = 0.
Para encontrar a solução das equações, ambos os fatores são definidos como iguais a zero:
(x 2 + 6) = 0, não tem solução.
(x 2 - 6) = 0
x 2 = 6
x = ± √6.
Assim, a equação inicial tem duas soluções:
x = √6.
x = - √6.
Referências
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- Angel, AR (2007). Álgebra elementar. Pearson Education,.
- Baer, R. (2012). Álgebra Linear e Geometria Projetiva. Courier Corporation.
- Baldor, A. (1941). Álgebra. Havana: cultura.
- Castaño, HF (2005). Matemática antes do cálculo. University of Medellin.
- Cristóbal Sánchez, MR (2000). Manual de Matemática de Preparação Olímpica. Universidade Jaume I.
- Kreemly Pérez, ML (1984). Álgebra Superior I.
- Massara, NC-L. (novecentos e noventa e cinco). Matemática 3.