- Exemplos
- As vantagens dos logaritmos
- Exemplo
- Resposta
- Exercício de aplicação: a escala Richter
- Solução
- Referências
A função logarítmica é uma relação matemática que associa cada número real positivo x com seu logaritmo y em uma base a. Essa relação atende aos requisitos para ser função: cada elemento x pertencente ao domínio possui uma imagem única.
Portanto:
Já que o logaritmo baseado em um número x é o número y ao qual a base a deve ser elevada para obter x.
-O logaritmo da base é sempre 1. Assim, o gráfico de f (x) = log a x sempre intercepta o eixo x no ponto (1,0)
-A função logarítmica é transcendente e não pode ser expressa como um polinômio ou como um quociente destes. Além do logaritmo, este grupo inclui as funções trigonométricas e exponencial, entre outras.
Exemplos
A função logarítmica pode ser estabelecida por várias bases, mas as mais utilizadas são 10 e e, onde e é o número de Euler igual a 2,71828….
Quando a base 10 é usada, o logaritmo é chamado de logaritmo decimal, logaritmo comum, Briggs 'ou simplesmente logaritmo simples.
E se o número e for usado, ele é chamado de logaritmo natural, em homenagem a John Napier, o matemático escocês que descobriu os logaritmos.
A notação usada para cada um é a seguinte:
- Logaritmo decimal: log 10 x = log x
- Logaritmo do Egito: ln x
Quando for utilizar outra base, é absolutamente necessário indicá-la como subscrito, pois o logaritmo de cada número é diferente dependendo da base a ser utilizada. Por exemplo, se forem logaritmos na base 2, escreva:
y = log 2 x
Vejamos o logaritmo do número 10 em três bases diferentes, para ilustrar este ponto:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,32193
Calculadoras comuns trazem apenas logaritmos decimais (função log) e logaritmo natural (função ln). Na Internet existem calculadoras com outras bases. Em qualquer caso, o leitor pode verificar, com a sua ajuda, que os valores anteriores são satisfeitos:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10.0001
2 3,32193 = 10,0000
As pequenas diferenças decimais são devidas ao número de casas decimais tomadas no cálculo do logaritmo.
As vantagens dos logaritmos
Entre as vantagens de usar logaritmos está a facilidade que eles fornecem para trabalhar com grandes números, usando seu logaritmo em vez do número diretamente.
Isso é possível porque a função de logaritmo cresce mais lentamente conforme os números aumentam, como podemos ver no gráfico.
Portanto, mesmo com números muito grandes, seus logaritmos são muito menores, e manipular pequenos números é sempre mais fácil.
Além disso, os logaritmos têm as seguintes propriedades:
- Produto: log (ab) = log a + log b
- Quociente: log (a / b) = log a - log b
- Alimentação: log a b = b.log a
E, dessa forma, os produtos e quocientes tornam-se adições e subtrações de números menores, enquanto a potenciação torna-se um produto simples, embora a potência seja alta.
É por isso que os logaritmos nos permitem expressar números que variam em faixas de valores muito grandes, como a intensidade do som, o pH de uma solução, o brilho das estrelas, a resistência elétrica e a intensidade dos terremotos na escala Richter.
Figura 2. Logaritmos são usados na escala Richter para quantificar a magnitude dos terremotos. A imagem mostra um prédio desabado em Concepción, Chile, durante o terremoto de 2010. Fonte: Wikimedia Commons.
Vejamos um exemplo do tratamento das propriedades dos logaritmos:
Exemplo
Encontre o valor de x na seguinte expressão:
Resposta
Temos aqui uma equação logarítmica, já que a incógnita está no argumento do logaritmo. Isso é resolvido deixando um único logaritmo em cada lado da igualdade.
Começamos colocando todos os termos que contêm "x" à esquerda da igualdade e aqueles que contêm apenas números à direita:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
À esquerda temos a subtração de dois logaritmos, que podem ser escritos como o logaritmo de um quociente:
log = 1
Porém, à direita está o número 1, que podemos expressar como log 10, como vimos anteriormente. Assim:
log = log 10
Para que a igualdade seja verdadeira, os argumentos dos logaritmos devem ser iguais:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 15/11
Exercício de aplicação: a escala Richter
Em 1957, um terremoto ocorreu no México, cuja magnitude foi de 7,7 na escala Richter. Em 1960, outro terremoto de maior magnitude ocorreu no Chile, de 9,5.
Calcule quantas vezes o terremoto no Chile foi mais intenso que o do México, sabendo que a magnitude M R na escala de Richter é dada pela fórmula:
M R = log (10 4 I)
Solução
A magnitude de um terremoto na escala Richter é uma função logarítmica. Vamos calcular a intensidade de cada terremoto, já que temos as magnitudes Richter. Vamos fazer isso passo a passo:
- México: 7,7 = log (10 4 I)
Como o inverso da função logaritmo é o exponencial, aplicamos isso a ambos os lados da igualdade com a intenção de resolver para I, que se encontra no argumento do logaritmo.
Como eles são logaritmos decimais, a base é 10. Então:
10 7,7 = 10 4 I
A intensidade do terremoto no México foi:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile: 9,5 = log (10 4 I)
O mesmo procedimento nos leva à intensidade do terremoto chileno I Ch:
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Agora podemos comparar as duas intensidades:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Eu m
O terremoto no Chile foi cerca de 63 vezes mais intenso do que no México. Como a magnitude é logarítmica, ela cresce mais lentamente do que a intensidade, portanto, uma diferença de 1 na magnitude significa uma amplitude 10 vezes maior da onda sísmica.
A diferença entre as magnitudes de ambos os terremotos é de 1,8, portanto, poderíamos esperar uma diferença de intensidades mais próxima de 100 do que de 10, como realmente aconteceu.
Na verdade, se a diferença fosse exatamente 2, o terremoto chileno teria sido 100 vezes mais intenso que o mexicano.
Referências
- Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
- Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Ano diversificado. Edições CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.