HEPTADECÁGONO: PROPRIEDADES, DIAGONAIS, PERÍMETRO, ÁREA - MATEMÁTICAS - 2025

O heptadecágono é um polígono regular com 17 lados e 17 vértices. Sua construção pode ser feita no estilo euclidiano, ou seja, utilizando apenas a régua e o compasso. Foi o grande gênio matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855), com apenas 18 anos, que encontrou o procedimento para sua construção em 1796.

Ao que parece, Gauss sempre foi muito inclinado a esta figura geométrica, a tal ponto que desde o dia em que descobriu a sua construção decidiu ser matemático. Também é dito que ele queria que o heptadecágono fosse gravado em sua lápide.

Figura 1. O heptadecágono é um polígono regular com 17 lados e 17 vértices. Fonte: F. Zapata.

Gauss também encontrou a fórmula para determinar quais polígonos regulares têm a possibilidade de serem construídos com régua e compasso, já que alguns não possuem construção euclidiana exata.

Características do heptadecágono

Quanto às suas características, como qualquer polígono, a soma dos ângulos internos é importante. Em um polígono regular com n lados, a soma é dada por:

Essa soma, expressa em radianos, é assim:

A partir das fórmulas acima, pode ser facilmente deduzido que cada ângulo interno de um heptadecágono tem uma medida exata α dada por:

Conclui-se que o ângulo interno é aproximadamente:

Diagonais e perímetro

Diagonais e perímetro são outros aspectos importantes. Em qualquer polígono, o número de diagonais é:

D = n (n - 3) / 2 e no caso do heptadecágono, como n = 17, temos então que D = 119 diagonais.

Por outro lado, se o comprimento de cada lado do heptadecágono for conhecido, então o perímetro do heptadecágono regular é encontrado simplesmente adicionando 17 vezes esse comprimento, ou o que é equivalente a 17 vezes o comprimento d de cada lado:

P = 17 d

Perímetro do heptadecágono

Às vezes, apenas o raio r do heptadecágono é conhecido, por isso é necessário desenvolver uma fórmula para este caso.

Para tanto, é apresentado o conceito de apotema. O apótema é o segmento que vai do centro do polígono regular ao ponto médio de um lado. O apótema relativo a um lado é perpendicular a esse lado (veja a figura 2).

Figura 2. As partes de um polígono regular com raio r e seu apótema são mostradas. (Elaboração própria)

Além disso, o apótema é uma bissetriz do ângulo com vértice central e lados em dois vértices consecutivos do polígono, o que nos permite encontrar uma relação entre o raio r e o lado d.

Se o ângulo central DOE é chamado de β e levando em consideração que o apótema OJ é uma bissetriz, temos EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), a partir do qual temos uma relação para encontrar o comprimento d do lado de um polígono conhecido seu raio r e seu ângulo central β:

d = 2 r Sen (β / 2)

No caso do heptadecágono β = 360º / 17, temos:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Por fim, obtém-se a fórmula para o perímetro do heptadecágono, conhecido seu raio:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

O perímetro de um heptadecágono está próximo ao perímetro da circunferência que o circunda, mas seu valor é menor, ou seja, o perímetro do círculo circunscrito é Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Área

Para determinar a área do heptadecágono, consultaremos a Figura 2, que mostra os lados e o apótema de um polígono regular com n lados. Nesta figura o triângulo EOD tem uma área igual à base d (lado do polígono) vezes a altura a (apótema do polígono) dividido por 2:

Área EOD = (dxa) / 2

Assim, conhecendo o apotema a do heptadecágono e o lado d do mesmo, sua área é:

Área do heptadecágono = (17/2) (dxa)

Área dada ao lado

Para obter uma fórmula para a área do heptadecágono conhecendo o comprimento de seus dezessete lados, é necessário obter uma relação entre o comprimento do apótema a e o lado d.

Com referência à figura 2, a seguinte relação trigonométrica é obtida:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, onde β é o ângulo central DOE. Assim, o apótema a pode ser calculado se o comprimento d do lado do polígono e o ângulo central β forem conhecidos:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Se esta expressão agora for substituída pelo apótema, na fórmula para a área do heptadecágono obtida na seção anterior, temos:

Área do heptadecágono = (17/4) (d ²) Cotan (β / 2)

Sendo β = 360º / 17 para o heptadecágono, finalmente temos a fórmula desejada:

Área do heptadecágono = (17/4) (d ²) Cotan (180º / 17)

Área dada o raio

Nas seções anteriores, foi encontrada uma relação entre o lado d de um polígono regular e seu raio r, sendo esta relação a seguinte:

d = 2 r Sen (β / 2)

Esta expressão para d é inserida na expressão obtida na seção anterior para a área. Se forem feitas as substituições e simplificações relevantes, obtém-se a fórmula que permite o cálculo da área do heptadecágono:

Área do heptadecágono = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

Uma expressão aproximada para a área é:

Área do heptadecágono = 3,0706 (r ²)

Como esperado, esta área é ligeiramente menor que a área do círculo que circunscreve o heptadecágono A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ². Para ser mais preciso, é 2% menor do que seu círculo circunscrito.

Exemplos

Exemplo 1

Para responder à pergunta, é necessário lembrar a relação entre o lado e o raio de um polígono regular de n lados:

d = 2 r Sen (180º / n)

Para o heptadecágono n = 17, então d = 0,3675 r, ou seja, o raio do heptadecágono é r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm ou

10,8844 cm de diâmetro.

O perímetro de um heptadecágono lateral de 2 cm é P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Exemplo 2

Devemos nos referir à fórmula mostrada na seção anterior, que nos permite encontrar a área de um heptadecágono quando ele tem o comprimento d de seu lado:

Área do heptadecágono = (17/4) (d ²) / Castanho (180º / 17)

Substituindo d = 2 cm na fórmula anterior, obtemos:

Área = 90,94 cm

Referências

1. CEA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria de compasso. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Descubra polígonos. Empresa de educação de referência.
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5. IGER. (sf). Matemática Primeiro Semestre Tacaná. IGER.
6. Geometria Jr. (2014). Polígonos. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matemática: Raciocínio e aplicações (décima edição). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matemática 5. Editorial Progreso.
9. Sada, M. Polígono regular de 17 lados com régua e compasso. Recuperado de: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecágono. Recuperado de: es.wikipedia.com