IDENTIDADES PITAGÓRICAS: DEMONSTRAÇÃO, EXEMPLO, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2024

As identidades pitagóricas são todas as equações trigonométricas válidas para qualquer valor do ângulo e são baseadas no teorema de Pitágoras. A mais famosa das identidades pitagóricas é a identidade trigonométrica fundamental:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Figura 1. Identidades trigonométricas pitagóricas.

O próximo em importância e uso a identidade pitagórica da tangente e da secante:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

E a identidade trigonométrica pitagórica envolvendo a cotangente e a cossecante:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstração

As relações trigonométricas seno e cosseno são representadas em um círculo de raio um (1) conhecido como círculo trigonométrico. O referido círculo tem seu centro na origem das coordenadas O.

Os ângulos são medidos a partir do semieixo positivo dos Xs, por exemplo o ângulo α na figura 2 (veja abaixo). No sentido anti-horário se o ângulo for positivo e no sentido horário se for um ângulo negativo.

O raio com origem O e ângulo α é desenhado, o que intercepta o círculo unitário no ponto P. O ponto P é projetado ortogonalmente no eixo horizontal X dando origem ao ponto C. Da mesma forma P é projetado perpendicularmente no eixo vertical Y dando lugar para apontar S.

Temos o triângulo retângulo OCP em C.

Seno e cosseno

Deve ser lembrado que a razão trigonométrica seno é definida em um triângulo retângulo como segue:

O seno de um ângulo do triângulo é a razão ou quociente entre a perna oposta ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

Aplicado ao triângulo OCP da figura 2, ficaria assim:

Sen (α) = CP / OP

mas CP = OS e OP = 1, de modo que:

Sen (α) = OS

O que significa que o OS de projeção no eixo Y tem um valor igual ao seno do ângulo exibido. Deve-se notar que o valor máximo do seno de um ângulo (+1) ocorre quando α = 90º e o mínimo (-1) quando α = -90º ou α = 270º.

Figura 2. Círculo trigonométrico mostrando a relação entre o teorema de Pitágoras e a identidade trigonométrica fundamental. (Elaboração própria)

Da mesma forma, o cosseno de um ângulo é o quociente entre a perna adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

Aplicado ao triângulo OCP da figura 2, ficaria assim:

Cos (α) = OC / OP

mas OP = 1, de modo que:

Cos (α) = OC

Isso significa que a projeção OC no eixo X tem um valor igual ao seno do ângulo mostrado. Deve-se notar que o valor máximo do cosseno (+1) ocorre quando α = 0º ou α = 360º, enquanto o valor mínimo do cosseno é (-1) quando α = 180º.

A identidade fundamental

Para o triângulo retângulo OCP em C, é aplicado o teorema de Pitágoras, que afirma que a soma do quadrado das pernas é igual ao quadrado da hipotenusa:

CP ² + OC ² = OP ²

Mas já foi dito que CP = OS = Sen (α), que OC = Cos (α) e que OP = 1, então a expressão anterior pode ser reescrita em função do seno e cosseno do ângulo:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

O eixo da tangente

Assim como o eixo X no círculo trigonométrico é o eixo do cosseno e o eixo Y é o eixo do seno, da mesma forma existe o eixo tangente (ver figura 3) que é precisamente a linha tangente ao círculo unitário no ponto B de coordenadas (1, 0).

Se você quiser saber o valor da tangente de um ângulo, o ângulo é desenhado a partir do semieixo positivo do X, a interseção do ângulo com o eixo da tangente define um ponto Q, o comprimento do segmento OQ é a tangente do ângulo.

Isso ocorre porque, por definição, a tangente do ângulo α é a perna oposta QB entre a perna adjacente OB. Ou seja, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Figura 3. O círculo trigonométrico mostrando o eixo da tangente e a identidade pitagórica da tangente. (Elaboração própria)

A identidade pitagórica da tangente

A identidade pitagórica da tangente pode ser provada considerando o triângulo retângulo OBQ em B (Figura 3). Aplicando o teorema de Pitágoras a este triângulo, temos que BQ ² + OB ² = OQ ². Mas já foi dito que BQ = Tan (α), que OB = 1 e que OQ = Sec (α), de modo que substituindo na igualdade pitagórica pelo triângulo retângulo OBQ temos:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Exemplo

Verifique se as identidades pitagóricas são cumpridas ou não no triângulo retângulo das pernas AB = 4 e BC = 3.

Solução: As pernas são conhecidas, a hipotenusa precisa ser determinada, que é:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

O ângulo ∡BAC será denominado α, ∡BAC = α. Agora as razões trigonométricas são determinadas:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Portanto, α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Começa com a identidade trigonométrica fundamental:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Conclui-se que está cumprido.

- A próxima identidade pitagórica é a da tangente:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

E conclui-se que a identidade da tangente é verificada.

- De forma semelhante à da cotangente:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Conclui-se que também está cumprido, com o qual foi concluída a tarefa de verificar as identidades pitagóricas para o triângulo dado.

Exercícios resolvidos

Prove as seguintes identidades, com base nas definições das razões trigonométricas e das identidades pitagóricas.

Exercício 1

Prove que Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Solução: No lado direito reconhecemos o notável produto da multiplicação de um binômio pelo seu conjugado que, como sabemos, é uma diferença de quadrados:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Em seguida, o termo com seno no lado direito passa para o lado esquerdo com o sinal alterado:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Observando que a identidade trigonométrica fundamental foi atingida, conclui-se que a expressão dada é uma identidade, ou seja, é verdadeira para qualquer valor de x.

Exercício 2

Partindo da identidade trigonométrica fundamental e usando as definições das razões trigonométricas, demonstre a identidade pitagórica da cossecante.

Solução: a identidade fundamental é:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Ambos os membros são divididos por Sen ² (x) e o denominador é distribuído no primeiro membro:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

É simplificado:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) é uma identidade (não pitagórica) que é verificada pela própria definição das razões trigonométricas. O mesmo acontece com a seguinte identidade: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Finalmente você tem que:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Referências

1. Baldor J. (1973). Geometria plana e espacial com introdução à trigonometria. Cultural da América Central. AC
2. CEA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria de compasso. University of Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (sf). Matemática Primeiro Semestre Tacaná. IGER.
5. Geometria Jr. (2014). Polígonos. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matemática: Raciocínio e aplicações (décima edição). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Matemática 5. Editorial Progreso.
8. Wikipedia. Identidades e fórmulas trigonométricas. Recuperado de: es.wikipedia.com