VETOR: CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES, ELEMENTOS, TIPOS, EXEMPLOS - CIÊNCIA - 2025

Os vetores são entidades matemáticas que geralmente são acompanhadas por uma unidade de medida - positiva - magnitude e direção. Essas características são muito apropriadas para descrever quantidades físicas como velocidade, força, aceleração e muito mais.

Com vetores é possível realizar operações de adição, subtração e produtos. A divisão não é definida para vetores e quanto ao produto, existem três classes que descreveremos posteriormente: produto escalar ou ponto, produto vetorial ou cruzado e produto de um escalar por um vetor.

Figura 1. Os elementos de um vetor. Fonte: Wikimedia Commons.

Para descrever completamente um vetor, todas as suas características devem ser indicadas. A magnitude ou módulo é um valor numérico acompanhado por uma unidade, enquanto a direção e o sentido são estabelecidos com a ajuda de um sistema de coordenadas.

Vejamos um exemplo: suponha que um avião voe de uma cidade para outra a uma velocidade de 850 km / h na direção NE. Aqui temos um vetor totalmente especificado, já que a magnitude está disponível: 850 km / h, enquanto a direção e o sentido são NE.

Os vetores são geralmente representados graficamente por segmentos de linha orientados, cujo comprimento é proporcional à magnitude.

Enquanto para especificar a direção e o sentido é necessária uma linha de referência, que normalmente é o eixo horizontal, embora o norte também possa ser tomado como referência, como é o caso da velocidade do avião:

Figura 2. Um vetor de velocidade. Fonte: F. Zapata.

A figura mostra o vetor velocidade do plano, denotado como v em negrito, para distingui-lo de uma grandeza escalar, que requer apenas um valor numérico e alguma unidade para ser especificada.

Elementos de um vetor

Como já dissemos, os elementos do vetor são:

-Magnitude ou módulo, às vezes também chamado de valor absoluto ou norma do vetor.

-Endereço

-Sentido

No exemplo da Figura 2, o módulo de v é 850 km / h. O módulo é denotado como v sem negrito, ou como - v -, onde as barras representam o valor absoluto.

A direção de v é especificada em relação ao Norte. Neste caso é 45º Norte de Leste (45º NE). Finalmente, a ponta da seta informa sobre o sentido de v.

Neste exemplo, a origem do vetor foi desenhada coincidindo com a origem O do sistema de coordenadas, isso é conhecido como vetor vinculado. Por outro lado, se a origem do vetor não coincide com a do sistema de referência, diz-se que é um vetor livre.

Deve-se notar que para especificar totalmente o vetor, esses três elementos devem ser observados, caso contrário, a descrição do vetor ficaria incompleta.

Componentes retangulares de um vetor

Figura 3. Componentes retangulares de um vetor no plano. Fonte: Wikimedia Commons. uranther

Na imagem, temos de volta nosso exemplo de vetor v, que está no plano xy.

É fácil ver que as projeções de v nos eixos das coordenadas xey determinam um triângulo retângulo. Essas projeções são v _{y e} v _x e são chamadas de componentes retangulares de v.

Uma maneira de denotar v por seus componentes retangulares é assim: v =x, v _e >. Esses colchetes são usados ​​em vez de parênteses para enfatizar o fato de que se trata de um vetor e não um ponto, já que neste caso seriam usados ​​parênteses.

Se o vetor estiver no espaço tridimensional, é necessário mais um componente, para que:

v =x, v _y, v _z >

Conhecer os componentes retangulares a magnitude do vector é calculado, o equivalente a encontrar a hipotenusa do triângulo retângulo cujas pernas são v _x e v _{e ,.} Por meio do teorema de Pitágoras, segue-se que:

Forma polar de um vetor

Quando a magnitude do vetor - v - e o ângulo θ que ele faz com o eixo de referência, geralmente o eixo horizontal, são conhecidos, o vetor também é especificado. O vetor é então expresso na forma polar.

Os componentes retangulares, neste caso, são facilmente calculados:

De acordo com o acima, os componentes retangulares do vetor velocidade v do avião seriam:

Tipos

Existem vários tipos de vetores. Existem vetores de velocidade, posição, deslocamento, força, campo elétrico, momento e muitos mais. Como já dissemos, na física há um grande número de grandezas vetoriais.

Em relação aos vetores que possuem determinadas características, podemos citar os seguintes tipos de vetores:

-Null: são vetores de magnitude 0 e que são denotados como 0. Lembre-se de que a letra em negrito simboliza as três características fundamentais de um vetor, enquanto a letra normal representa apenas o módulo.

Por exemplo, em um corpo em equilíbrio estático, a soma das forças deve ser um vetor nulo.

- Livres e vinculados: vetores livres são aqueles cujos pontos de origem e chegada são quaisquer pares de pontos no plano ou espaço, ao contrário dos vetores vinculados, cuja origem coincide com a do sistema de referência usado para descrevê-los.

O par ou momento produzido por um par de forças é um bom exemplo de vetor livre, uma vez que o par não se aplica a nenhum ponto particular.

- Equipolentes: são dois vetores livres que compartilham características idênticas. Portanto, eles têm magnitude, direção e sentido iguais.

- Coplanar ou coplanar: vetores que pertencem ao mesmo plano.

- Opostos: vetores de mesma magnitude e direção, mas direções opostas. O vetor oposto a um vetor v é o vetor - ve a soma de ambos é o vetor nulo: v + (- v) = 0.

- Concorrente: vetores cujas linhas de ação passam todas pelo mesmo ponto.

- Sliders: são aqueles vetores cujo ponto de aplicação pode deslizar ao longo de uma determinada linha.

- Colinear: vetores que estão localizados na mesma linha.

- Unitários: aqueles vetores cujo módulo é 1.

Vetores de unidades ortogonais

Existe um tipo de vetor muito útil em física, denominado vetor de unidade ortogonal. O vetor unitário ortogonal tem um módulo igual a 1 e as unidades podem ser quaisquer, por exemplo as de velocidade, posição, força ou outras.

Existe um conjunto de vetores especiais que ajudam a representar facilmente outros vetores e a realizar operações com eles: são os vetores unitários ortogonais i, j e k, unitários e perpendiculares entre si.

Em duas dimensões, esses vetores são direcionados ao longo da direção positiva de ambos os eixos xe y. E em três dimensões um vetor unitário é adicionado na direção do eixo z positivo. Eles são representados da seguinte forma:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Um vetor pode ser representado pelos vetores unitários i, j e k da seguinte forma:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Por exemplo, o vetor de velocidade v nos exemplos anteriores pode ser escrito como:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

A componente em k não é necessária, pois este vetor está no plano.

Adição de vetor

A soma dos vetores aparece com muita frequência em várias situações, por exemplo, quando você deseja encontrar a força resultante em um objeto que é afetado por várias forças. Para começar, suponhamos que temos dois vetores livres u e v no plano, como mostrado na figura abaixo à esquerda:

Figura 4. Soma gráfica de dois vetores. Fonte: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Ele é imediatamente transferido com cuidado para o vetor v, sem modificar sua magnitude, direção ou sentido, de modo que sua origem coincida com o final de u.

A soma vetorial é chamada de w e é desenhada a partir de u terminando em v, conforme a figura à direita. É importante notar que a magnitude do vetor w não é necessariamente a soma das magnitudes de v e u.

Se você pensar bem, a única vez em que a magnitude do vetor resultante é a soma das magnitudes dos adendos é quando os dois adendos estão na mesma direção e têm o mesmo sentido.

E o que acontece se os vetores não forem livres? Também é muito fácil adicioná-los. A maneira de fazer isso é adicionando componente a componente, ou método analítico.

A título de exemplo, consideremos os vetores da figura a seguir, a primeira coisa é expressá-los de uma das formas cartesianas explicadas anteriormente:

Figura 5. Soma de dois vetores vinculados. Fonte: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Para obter a componente x do vetor de soma w, adicione as respectivas componentes x de v e u: w _x = 5 + 2 = 7. E para obter w _y um procedimento análogo é seguido: w _y = 1 + 3. Portanto:

u = <7,4>

Propriedades de adição de vetor

-A soma de dois ou mais vetores resulta em outro vetor.

- É comutativa, a ordem dos adendos não altera a soma, de forma que:

u + v = v + u

- O elemento neutro da soma dos vetores é o vetor nulo: v + 0 = v

- A subtração de dois vetores é definida como a soma do oposto: v - u = v + (-u)

Exemplos de vetores

Como dissemos, existem inúmeras quantidades vetoriais na física. Entre os mais conhecidos estão:

-Posição

-Deslocamento

-Velocidade média e velocidade instantânea

-Aceleração

-Força

-Quantidade de movimento

-Torque ou momento de uma força

-Impulso

-Campo elétrico

-Campo magnético

-Momento magnético

Por outro lado, eles não são vetores, mas escalares:

-Clima

-Massa

-Temperatura

-Volume

-Densidade

-Trabalho mecanico

-Energia

-Quente

-Poder

-Voltagem

-Corrente elétrica

Outras operações entre vetores

Além da adição e subtração de vetores, existem três outras operações muito importantes entre vetores, pois dão origem a novas quantidades físicas muito importantes:

-Produto de um escalar por um vetor.

-O produto escalar ou produto escalar entre vetores

-E o produto cruzado ou vetorial entre dois vetores.

Produto de um escalar e um vetor

Considere a segunda lei de Newton, que afirma que a força F e a aceleração a são proporcionais. A constante de proporcionalidade é a massa m do objeto, portanto:

F = m. para

A massa é um escalar; por sua vez, força e aceleração são vetores. Como a força é obtida multiplicando a massa pela aceleração, ela é o resultado do produto de um escalar e um vetor.

Este tipo de produto sempre resulta em um vetor. Aqui está outro exemplo: a quantidade de movimento. Seja P o vetor momento, v o vetor velocidade e, como sempre, m é a massa:

P = m. v

Produto escalar ou produto escalar entre vetores

Colocamos o trabalho mecânico na lista de quantidades que não são vetores. No entanto, o trabalho em física é o resultado de uma operação entre vetores chamada produto escalar, produto interno ou produto escalar.

Deixe os vetores v e u, defina o ponto ou produto escalar entre eles como:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Onde θ é o ângulo entre os dois. Da equação mostrada segue imediatamente que o resultado do produto escalar é um escalar e também que se ambos os vetores são perpendiculares, seu produto escalar é 0.

Voltando ao trabalho mecânico W, este é o produto escalar entre o vetor força F e o vetor deslocamento ℓ.

Quando os vetores estão disponíveis em termos de seus componentes, o produto escalar também é muito fácil de calcular. Se v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, o produto escalar entre os dois é:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

O produto escalar entre vetores é comutativo, portanto:

v ∙ u = u ∙ v

Produto cruzado ou produto vetorial entre vetores

Se v e u forem nossos dois vetores de exemplo, definimos o produto vetorial como:

v x u = w

Segue-se imediatamente que o produto vetorial resulta em um vetor, cujo módulo é definido como:

Onde θ é o ângulo entre os vetores.

O produto vetorial não é comutativo, portanto v x u ≠ u x v. Na verdade, v x u = - (u x v).

Se os dois vetores de exemplo são expressos em termos de vetores unitários, o cálculo do produto do vetor é facilitado:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Produtos cruzados entre vetores unitários

O produto vetorial entre vetores unitários idênticos é zero, pois o ângulo entre eles é 0º. Mas entre diferentes vetores unitários, o ângulo entre eles é 90º e sen 90º = 1.

O diagrama a seguir ajuda a encontrar esses produtos. Na direção da seta tem direção positiva e na direção oposta negativa:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Aplicando a propriedade distributiva, que ainda é válida para os produtos entre vetores mais as propriedades dos vetores unitários, temos:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Dados os vetores:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Qual deve ser o vetor w para que a soma v + u + w seja 6 i +8 j -10 k ?

Solução

Portanto, deve-se cumprir que:

A resposta é: w = 9 i +7 j - 18 k

- Exercício 2

Qual é o ângulo entre os vetores v e u no exercício 1?

Solução

Usaremos o produto escalar. Da definição temos:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Substituindo esses valores:

Referências

1. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Volume 1. 7º. Ed. Cengage Learning.